第347章 搞定畢業論文
  350章

  另一邊，華國。

  經過一夜的思考，困惑程諾終於對自己的畢業論文有了新的思路。

  關於兩個引理的運用，程諾有他自己獨到的見解。

  所以，這天白天的課一結束，程諾便匆匆趕到圖書館，隨便挑了一個沒人的位置，拿出紙筆，驗證自己的想法。

  既然將兩個引理強加進 Bertrand 假設的證明過程中這個方向行不通，那程諾想的是，能否根據這兩個引理，得出幾個推論，然後再應用到 Bertrand 假設中。

  這樣的話，雖然拐了個彎，看似比切比雪夫的方法還要麻煩不少。但在真正的結果出來之前，誰也不敢百分百就這樣說。

  程諾覺得還是應該嘗試一下。

  工具早已備好，他沉吟了一陣，開始在草稿紙上做各種嘗試。

  他有不是上帝，並不能很明確的知曉通過引理得出來的推論究竟哪個有用，哪個沒用。最穩妥的方法，就是一一嘗試。

  反正時間足夠，程諾並不著急。

  唰唰唰~~
  低著頭，他列下一行行算式。

  【設 m 為滿足 pm ≤ 2n 的最大自然數，則顯然對於 i > m， floor(2n/pi)- 2floor(n/pi)= 0 - 0 = 0，求和止於 i = m，共計 m 項。由於 floor(2x)- 2floor(x)≤ 1，因此這 m 項中的每一項不是 0 就是 1……】

  由上，得推論1：【設 n 為一自然數， p 為一素數，則能整除(2n)！/(n！n！)的 p 的最高冪次為： s =Σi≥1 [floor(2n/pi)- 2floor(n/pi)]。】

  【因為 n ≥ 3 及 2n/3 < p ≤ n 表明 p2 > 2n，求和只有 i = 1 一項，即： s = floor(2n/p)- 2floor(n/p)。由於 2n/3 < p ≤ n 還表明 1 ≤ n/p < 3/2，因此 s = floor(2n/p)- 2floor(n/p)= 2 - 2 = 0。】

  由此，得推論2：【設 n ≥ 3 為一自然數， p 為一素數， s 為能整除(2n)！/(n！n！)的 p 的最高冪次，則：(a) ps ≤ 2n；(b)若 p >√2n，則 s ≤ 1；(c)若 2n/3 < p ≤ n，則 s = 0。】

  一行行，一列列。

  除了上課，程諾一整天都泡在圖書館裡。

  等到晚上十點閉館的時候，程諾才背著書包依依不舍的離開。

  而在他手中拿著的草稿紙上，已經密密麻麻的列著十幾個推論。

  這是他勞動一天的成果。

  明天程諾的工作，就是從這十幾個推論中，尋找出對Bertrand 假設證明工作有用的推論。

  …………

  一夜無話。

  翌日，又是陽光明媚，春暖花開的一天。

  日期是三月初，方教授給程諾的一個月假期還剩十多天的時間。

  程諾又足夠的時間去浪……哦，不，是去完善他的畢業論文。

  論文的進度按照程諾規劃的方案進行，這一天，他從推導出的十幾個推論中尋找出證明 Bertrand 假設有重要作用的五個推論。

  結束了這忙碌的一天，第二天，程諾便馬不停蹄的開始正式Bertrand 假設的證明。

  這可不是個輕松的工作。

  程諾沒有多大把握能一天的時間搞定。

  可一句古話說的好，一鼓作氣，再而衰，三而竭。如今勢頭正足，最好一天拿下。

  這個時候，程諾不得不再次準備開啟修仙大法。

  而修仙神器，“腎寶”，程諾也早已準備完畢。

  肝吧，少年！
  程諾右手碳素筆，左手腎寶，開始攻克最後一道難關。

  切爾雪夫在證明Bertrand 假設時，采取的方案是直接進行已知定理進行硬性推導，絲毫沒有任何技巧性可言。

  程諾當然不能這麽做。

  對於Bertrand 假設，他準備使用反證法。

  這是除了直接推導證明法之外最常用的證明方法，面對許多猜想時非常重要。

  尤其是……在證明某個猜想不成立時！

  但程諾現在當時不是要尋找反例，證明Bertrand 假設不成立。

  切爾雪夫已然證明這一假設的成立，使用反證法，無非是將證明步驟進行簡化。

  程諾自信滿滿。

  第一步，用反證法，假設命題不成立，即存在某個 n ≥ 2，在 n 與 2n 之間沒有素數。

  第二步，將(2n)！/(n！n！)的分解(2n)！/(n！n！)=Π ps(p)(s(p)為質因子 p 的冪次。

  第三步，由推論5知 p < 2n，由反證法假設知 p ≤ n，再由推論3知 p ≤ 2n/3，因此(2n)！/(n！n！)=Πp≤2n/3 ps(p)。

  ………………

  第七步，利用推論8可得：(2n)！/(n！n！)≤Πp≤√2n ps(p)·Π√2n<p≤2n/3 p ≤Πp≤√2n ps(p)·Πp≤2n/3 p！

  思路暢通，程諾一路寫下來，不見任何阻力，一個小時左右便完成一半多的證明步驟。

  連程諾本人，都驚訝了好一陣。

  原來我現在，不知不覺間已經這麽厲害了啊！！！
  程諾叉腰得意一會兒。

  隨後，便是低頭繼續苦逼的列著證明公式。

  第八步，由於乘積中的第一組的被乘因子數目為√2n 以內的素數數目，即不多於√2n/2 - 1 (因偶數及 1 不是素數)……由此得到：(2n)！/(n！n！)<(2n)√2n/2-1 · 42n/3。

  第九步，(2n)！/(n！n！)是(1+1)2n 展開式中最大的一項，而該展開式共有 2n 項(我們將首末兩項 1 合並為 2)，因此(2n)！/(n！n！)≥ 22n / 2n = 4n / 2n。兩端取對數並進一步化簡可得：√2n ln4 < 3 ln(2n)。

  下面，就是最後一步。

  由於冪函數√2n 隨 n 的增長速度遠快於對數函數 ln(2n)，因此上式對於足夠大的 n 顯然不可能成立。

  至此，可說明， Bertrand 假設成立。

  論文的草稿部分，算是正式完工。

  而且完工的時間，比程諾預想的要早了整整一半時間。

  這樣的話，還能趁熱的將畢業論文的文檔版給搞出來。

  搞！搞！搞！
  啪啪啪~~
  程諾手指敲擊著鍵盤，四個多小時後，畢業論文正式完稿。

  程諾又隨手做了一份PPT，畢業答辯時會用到。

  至於答辯的腹稿，程諾並沒有準備這個東西。

  反正到時候兵來將擋，水來土掩就是。

  要是以哥的水平，連一個畢業答辯都過不了，那還不如直接找塊豆腐撞死算了。

  哦，對了，還有一件事。

  程諾一拍腦袋，仿佛記起了什麽。

  在網上搜索一陣，程諾將論文轉換為英文的PDF格式，打包投給了位於德古國的一家學術期刊：《數學通訊符號》。

  SCI期刊之一，位列一區。

  影響因子5.21，即便在一區的諸多著名學術雜志中，都屬於中等偏上的水平。

  ……………………

  PS：《愛情公寓》，哎~~
  (本章完)