丟番圖經常會遇到一些有趣的問題。花一定的錢買不同的各種價錢的東西，總共有幾種買法。能不能有效的把所有可以的買法全部都計算出來?

　　中國的《張建丘算經》裡就是一個這個問題:1公雞值1錢，1母雞值3錢，3小雞值1錢。有一百錢可以怎麽買這些雞?張建丘發現了這幾種答案:公雞、母雞和小雞的比例會有4:18:78，又有8:11:81，又有12:4:84這三種答案。這當然是張建丘一個個試出來的。

　　“分數肯定是不行的，很多東西不能分成幾半，所有東西上必須是整數。肯定不能是分數。”丟番圖是一個不喜歡分數的人，認為用分數解方程不能解決所有問題。

　　所以丟番圖喜歡寫出不定方程來，去計算這個方程的所有整數解。步驟是:1.判斷何時有解。2.有解時決定解的個數。3.求出所有的解。

　　可是究其一生丟番圖的發現也沒有讓自己的不定方程能解的更快，其中辦法只有窮舉法或者是窮舉法的各種延伸。

　　都約兩千年後的1900年，希爾伯特提出丟番圖問題的可解答性為他的23個問題中的第10題。1970年，一個數理邏輯的結果馬蒂雅謝維奇定理(Matiyasevich's theorem)說明:一般來說，丟番圖問題都是不可解的。更精確的說法是，不可能存在一個算法能夠判定任何丟番圖方程式是否有解，甚至，在任何相容於皮亞諾算數的系統當中，都能具體構造出一個丟番圖方程，使得沒有任何辦法可以判斷它是否有解。

　　丟番圖方程不那麽容易解的事情，就算是一個結束了。

　　到了後來的貝祖等式、勾股定理的整數解、四平方和定理和費馬最後定理等都是丟番圖的問題。都無法用簡單的辦法可以解出。