“阿貝爾寫的這些太難了,看不明白。”
伽羅瓦認為,證明五次方程不可解,不能像阿貝爾那樣使用繁雜的公式直接推導去尋找矛盾。
而是需要尋找一個真正的本質,一種內在的精確的簡單的數學結構來說明這一點。
“二、三、四次方程可以解出來,那是有一個內在的性質的。”
“是對稱性,這種對稱性在五次方程中沒有。”
“而這種對稱性,跟交換群的對稱性,在數學上是一回事,兩者是等價的。只是長的不一樣罷了。只要我能夠證明這兩者是等價的,同時在五次的交換群裡找到異常的地方,就可以了。”
“可什麽是異常呢?”
伽羅瓦吧3、4次的交換群都畫出來了。
然後畫出了第5次,發現第5交換群有問題。
這個問題就是5次交換群沒有正規子群。
“如果沒有正規子群的話,就能說明五次方程是沒有四則運算解的嗎?”
伽羅瓦開始從域論和擴張域上來尋找答案。
第一:域的正規可分擴張定義為伽羅瓦擴張。
第二:若K/F為伽羅瓦擴張,K上的F-自同構的集合構成一個群,定義為伽羅瓦群,記為Gal(K/F)。
第三:對於H是Gal(K/F)的子群,稱K中在H中任意元素作用下不動元的集合為H的不動域,這是一個中間域。
第四:對於伽羅瓦擴張,擴張的中間域和伽羅瓦群的子群有一一對應的關系。
第五:F?E?K形式的伽羅瓦擴張,E/F是正規擴張當且僅當Gal(K/E)是Gal(K/F)的正規子群。
第六:在特征為0的域上,多項式的根可用根式解當且僅當其分裂域擴張的伽羅瓦群是可解群。
廣義上的伽羅瓦理論還包括尺規作圖,諾特方程,循環擴張,庫默爾理論等內容。