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　對於一個給定的感知器來說，它的權重和閾值也是給定的，代表一種決策策略。因此，我們可以通過調整權重和閾值來改變這個策略。

　關於閾值threshold，這裡需要指出的一點是，為了表達更方便，一般用它的相反數來表達:b=-threshold，這裡的b被稱為偏置(bias)。

　這樣，前面計算輸出的規則就修改為:如果w1x1 + w2x2 + w3x3 +...+ b > 0，則輸出output=1，否則輸出output=0。

　而權重w1=w2=-2，則b=3。

　很明顯，只有當x1=x2=1的時候，output=0，因為(?2)*1+(?2)*1+3=?1，小於0。而其它輸入的情況下，都是output=1。

　所以在實際情況下，這其實是一個“與非門”！

　在計算機科學中，與非門是所有門部件中比較特殊的一個，它可以通過組合的方式表達任何其它的門部件。這被稱為與非門的普適性(Gate Universality)。

　既然感知器能夠通過設置恰當的權重和偏置參數，來表達一個與非門，那麽理論上它也就能表達任意其它的門部件。

　因此，感知器也能夠像前面三體中的例子一樣，通過彼此連接從而組成一個計算機系統。

　但這似乎沒有什麽值得驚喜的，我們已經有現成的計算機了，這只不過是讓事情複雜化了而已。

　單個感知器能做的事情很有限。要做複雜的決策，所以則是需要將多個感知器連接起來。

　而實際中的網絡可能會有上萬個，甚至數十萬個參數，如果手工一個一個地去配置這些參數，恐怕這項任務永遠也完成不了了。

　而神經網絡最有特色的地方就在於這裡。

　我們不是為網絡指定所有參數，而是提供訓練數據，讓網絡自己在訓練中去學習，在學習過程中為所有參數找到最恰當的值。

　大體的運轉思路是這樣:我們告訴網絡當輸入是某個值的時候，我們期望的輸出是什麽，這樣的每一份訓練數據，稱為訓練樣本(training example)。

　這個過程相當於老師在教學生某個抽象的知識的時候，舉一個具體例子:

　一般來說，我們舉的例子越多，就越能表達那個抽象的知識。這在神經網絡的訓練中同樣成立。

　我們可以向網絡灌入成千上萬個訓練樣本，然後網絡就自動從這些樣本中總結出那份隱藏在背後的抽象的知識。

　這份知識的體現，就在於網絡的所有權重和偏置參數的取值。

　假設各個參數有一個初始值，當我們輸入一個訓練樣本的時候，它會根據當前參數值計算出唯一的一個實際輸出值。

　這個值可能跟我們期望的輸出值不一樣。想象一下，這時候，我們可以試著調整某些參數的值，讓實際輸出值和期望輸出值盡量接近。

　當所有的訓練樣本輸入完畢之後，網絡參數也調整到了最佳值，這時每一次的實際輸出值和期望輸出值已經無限接近，這樣訓練過程就結束了。

　假設在訓練過程中，網絡已經對數萬個樣本能夠給出正確(或接近正確)的反應了，那麽再給它輸入一個它沒見過的數據，它也應該有很大概率給出我們預期的決策。這就是一個神經網絡工作的原理。

　但這裡還有一個問題，在訓練過程中，當實際輸出值和期望輸出值產生差異的時候，要如何去調整各個參數呢?

　當然，在思考怎麽做之前，也應該先弄清楚:通過調整參數的方式獲得期望的輸出，這個方法行得通嗎?

　實際上，對於感知器網絡來說，這個方法基本不可行。

　比如在上圖有39個參數的感知器網絡中，如果維持輸入不變，我們改變某個參數的值，那麽最終的輸出基本完全不可預測。

　它或者從0變到1(或從1變到0)，當然也可能維持不變。這個問題的關鍵在於:輸入和輸出都是二進製的，只能是0或者1。

　如果把整個網絡看成一個函數(有輸入，有輸出)，那麽這個函數不是連續的。

　因此，為了讓訓練成為可能，我們需要一個輸入和輸出能夠在實數上保持連續的神經網絡。於是，這就出現了sigmoid神經元。

　sigmoid神經元(sigmoid neuron)是現代神經網絡經常使用的基本結構(當然不是唯一的結構)。它與感知器的結構類似，但有兩個重要的區別。

　第一，它的輸入不再限制為0和1，而可以是任意0~1之間的實數。

　第二，它的輸出也不再限制為0和1，而是將各個輸入的加權求和再加上偏置參數，經過一個稱為sigmoid函數的計算作為輸出。

　具體來說，假設z=w1x1+w2x2+w3x3+...+b，那麽輸出output=σ(z)，其中:σ(z)= 1/(1+e-z)。

　σ(z)是一個平滑、連續的函數。而且，它的輸出也是0~1之間的實數，這個輸出值可以直接作為下一層神經元的輸入，保持在0~1之間。

　可以想象，在采用sigmoid神經元組裝神經網絡之後，網絡的輸入和輸出都變為連續的了，也就是說，當我們對某個參數的值進行微小的改變的時候，它的輸出也只是產生微小的改變。這樣就使得逐步調整參數值的訓練成為可能。

　在歷史上，很多研究人員曾經也做過嘗試，Michael Nielsen的書《Neural Networks and Deep Learning》這本書中也曾經提到過這個例子。

　這個神經網絡只有一層隱藏層， 屬於淺層的神經網絡(shallow neural networks)。而真正的深度神經網絡(deep nerual networks)，則會有多層隱藏層。

　神經元系統采用了左右腦半球的設計方式進行設計和製造。

　最右側則是輸出層(output layer)，有10個神經元節點，分別代表識別結果是0，1，2，...，9。當然，受sigmoid函數σ(z)的限制，每個輸出也肯定是0~1之間的數。

　那我們在得到一組輸出值之後，哪個輸出的值最大，最終的識別結果就是它。

　而在訓練的時候，輸出的形式則是:正確的那個數字輸出為1，其它輸出為0，隱藏層和輸出層之間也是全連接。

　神經網絡共的權重參數有784*15+15*10=11910個，偏置參數有15+10=25個，總共參數個數為:11910+25=11935個。

　這可是一個非常驚人的數字。