歐拉乘積公式的推導過程，大學課本裡還是有的，但又有多少人會自己推導一遍呢?

　　將公式直接拿來用就完事了！

　　經過田立心連比帶畫地將這個公式推導了一遍，許多人都豁然開朗了。

　　但還有不少人根本就不知道，這個公式的意義在哪?

　　歐拉乘積公式的意義在於，對全體質數的某些運算可以轉移成對全體自然數的運算。這麽一來，通過研究對自然數的求和Σnn-s，就有可能對質數獲得更深刻的認識。

　　這個求和是非常重要的，所以它有一個專門的名稱，——黎曼ζ函數。

　　這個函數明明是歐拉先提出來的，為什麽會叫黎曼ζ函數呢?

　　田立心並沒有立即給出答案，而是提出新的問題，“我們來到第二個部分，我來先問幾個問題，兩個自然數互質的概率是多少?什麽是互質?n個自然數互質有沒有通項公式呢?”

　　“自然數互質，意思就是它們沒有共同的質因數，它們的最大公約數是1。例如2和3互質，2和15互質，但15和21不互質，因為15和21都以3作為質因數。由此得知，任意兩個不同的質數是互質的，一個質數和一個不以它作為質因數的合數是互質的，1和任意自然數都是互質的。”田立心解釋了互質的概念後，便利用歐拉乘積公式寫下了兩個自然數互質的數學表示方法，並一步步計算了下去。

　　計算的結果顯示，得到n個自然數互質的概率正好等於所有自然數的倒數之和，這個數也稱為調和級數——也就是1/ζ(s)。

　　特別說明，這個函數中的s是大於1的。

　　也就是說，隨著s趨於無窮大，ζ(s)=Σnn-s當中只有第一項1不受影響，後面的項都迅速地趨近於0，所以ζ(s)會趨近於1。相應的，s個自然數互質的概率會趨近於100%。

　　要是s=1呢?

　　ζ(1)會等於無窮大！

　　也就是說，調和級數是發散的！

　　但在這個推導過程中，是包含一個前提的，——就是ζ(s)是一個有限值，或者說ζ(s)是收斂的。

　　只有在這個前提之下，才能將它當成一個正常的數進行各種操作，例如乘以1- f(2)，消去所有包含2n的項。

　　假如ζ(s)是發散的，這樣的操作就是毫無意義的，這會帶來各種各樣的錯誤結果。

　　被人調侃的全體自然數之和等於-1/12，便是這樣計算出來的錯誤之一。

　　那麽，全體自然數之和等於-1/12，又是怎麽被人證明出來的呢?

　　這就要說到黎曼了。

　　黎曼是德國著名的數學家，數學王子高斯的弟子。

　　黎曼在二十八歲時發表了題為《論作為幾何學基礎的假設》的演說，就此創立了黎曼幾何學。他將曲面本身看成一個獨立的幾何實體，而不是把它僅僅看作歐幾裡得空間中的一個幾何實體，後來，愛因斯坦也是運用黎曼幾何和張量分析工具，才創立了新的引力理論——廣義相對論。

　　全體自然數之和等於-1/12，就是黎曼在運用歐拉乘積公式中偶然得到的副產品。

　　正是在這個錯誤的結果的啟迪之下，黎曼對歐拉乘積公式的運用提出了四條脈絡。

　　一，應該把ζ(s)中的自變量s理解為複數，而不只是實數。

　　二，可以通過解析延拓，讓ζ(s)在s小於1的地方也獲得定義。

　　三，通過對ζ(s)的研究，可以對小於等於某個數的質數的個數，給出一個明確的表達式，在這個表達式中唯一未知的就是ζ(s)的零點的位置。

　　四，黎曼猜測ζ(s)的零點都位於某些地方。

　　由此可見，黎曼在歐拉ζ函數上的研究上，顯然是比歐拉更進一步的。

　　他在加入解析延拓之後，使得ζ(s)在s小於1的地方獲得定義。

　　由此，歐拉ζ函數也就升級成了黎曼ζ函數。

　　解析延拓又是什麽呢?

　　解析延拓就是擴大一個函數的定義域，使得該函數在一些原本沒有定義的地方也有了定義，而在原本有定義的地方還跟原來一樣。

　　例如，在-1，1的區間裡定義了一個函數y=x，它的函數圖像是一條線段，從(-1，-1)連到(1，1)。將這條線段向兩邊延伸，而且可以延伸得任意遠，這麽一來，這個函數的定義域就從區間(-1，1)擴展到了整個數軸。

　　全體自然數之和等於-1/12的結果，正是黎曼在解析延拓的計算中得來的。

　　正確的表達方式應該是這樣的，——ζ(-1)=-1/12。

　　黎曼將黎曼ζ函數變形之後，寫出了由一個階梯函數、兩個對數積分函數和一個質數計量函數組成的等式，並將這個結果發表了名為《論小於給定數值的質數個數》的論文，等式左邊的階梯函數表示一個質數的n次方等於1/n個質數。

　　這意味著，這個函數是和質數的分布是相關的。

　　等式另一邊，其中一個是對數積分函數，其自變量取的是黎曼ζ函數的非平凡零點。

　　從公式中不難看出，質數的全部信息都包含在黎曼ζ函數的非平凡零點之中。

　　黎曼ζ函數的非平凡零點的位置又在哪呢?

　　一個非平凡零點ρ的實部和虛部經常被記為σ和t，即ρ=σ+it。黎曼很快就證明了，ρ不可能出現在σ大於1或者σ小於0的地方。也就是說，非平凡零點隻可能出現在0≤σ≤1的區域裡。

　　在複平面上，這對應於一條寬度為1的豎直條帶，人們把它稱為臨界帶。

　　而根據黎曼ζ函數的形式，很容易發現零點對於實軸是對稱的。

　　如果σ+it是一個零點，那麽它的共軛複數σ-it也是一個零點。

　　因此，非平凡零點總是上下成對出現的。

　　再根據黎曼的函數方程，即ζ(s)與ζ(1-s)之間的聯系，很容易發現非平凡零點對於σ= 1/2這條豎線是對稱的。

　　也就是說，如果σ+it是一個零點，那麽1-σ+it也是一個零點。

　　黎曼計算了幾個非平凡零點的位置，發現它們的實部都等於1/2。例如第一、二、三個非平凡零點，實部都等於1/2，而虛部分別約等於14.1347、21.0220和25.0109。

　　隨後他就做出了一個大膽的猜想，——黎曼ζ函數所有的非平凡零點，實部都等於1/2。

　　而這，就是黎曼猜想。