“本科階段的泛函分析我們以學習線性泛函分析分析為主，非線性泛函分析一般要等到研究生階段才開始學習。線性泛函分析主要內容，歸納起來，就是我們常說的一王一後以及四大天王。一王一後就是貝爾綱定理和hahnbanach定理，四大天王分別是開映射定理，閉圖像定理， banachsteha定理，閉值域，azur定理……”

　這是一堂複習課，那老師也不多話，直接在課堂上開講“今天，我們就從一王一後以及四大天王入手，梳理本學期所學過的相關知識點，包括閉算子的譜分析，對稱算子的自伴延，算子半群理論，線性單調算子，算子代數……”

　龐學林在座位上打了個哈欠，他居住的那個招待所隔音效果一般，昨晚沒睡好，這幾天又一直在趕路，他著實有些累了。再加上老師講課時還帶了部分方言口音，語氣不溫不火，雖然講的內容沒什麽問題，但還是讓人感覺犯困。

　龐學林不知不覺閉上了眼。

　也不知過了多久，龐學林突然被一陣喧鬧聲吵醒。

　他有些茫然地睜開眼，便發現教室裡不少學生正用戲謔的眼神看著自己。

　講台上，那位禿頂教授正朝自己所在的方向說話“那位穿軍綠大衣的同學，上課時間睡得這麽香，看樣子你應該什麽都會了吧，你過來過來，幫我解一解這道題……”

　龐學林環顧四周，然後有些茫然地指了指自己“老師，我嗎?”

　“對，說的就是你！快點上來，幫我把黑板上這道題解了……”

　“老師，我不是……”

　“你上不上來?不上來的話就給我出去，不過你這門課也別想考了。”

　“這……好吧！”

　龐學林猶豫了片刻，還是選擇起身。

　他原本想著等下課之後找這個教授套套話，問一下幾大期刊的地址。

　現在如果直接出去，那可真把人家給得罪了。

　龐學林走上講台，眾人這才看清楚他那一身裝扮。

　一身破舊的軍大衣，裡面隱約可以看到黑色的棉布襖，布襖領子口的線頭掉了，露出小半截棉花。

　他腳上踩著一雙黑布鞋，但幾天趕路下來，原本漿洗乾淨的布鞋早就變髒兮兮不成樣了。

　這個年代，大學生還是天之驕子，就算家裡再窮，也有幾身用來對換的體面衣服。

　如果不是龐學林本身氣質形象都不錯，就他這副衣著打扮，早就被人當做是農村出來的盲流了。

　“這人是哪班的啊?以前怎麽沒見過，這身打扮夠可以啊！”

　“老王的課都敢睡覺，這家夥膽子真大。”

　“我估計他已經放棄臨時抱佛腳的念頭了，泛函分析太t難了，老王講課口音又重，我都犯困想睡覺了……”

　……

　台下的學生們議論紛紛，一個個好奇地看著龐學林。

　王崇慶看著龐學林的裝扮，皺了皺眉，說道“同學，這道題，你來解吧！”

　龐學林點了點頭，看著黑板上的題目。

　設e， f是兩個banach空間，令 a:da??e→f為一個閉算子，且 da??e。求證da　　σf′，ff′da　　σf′，ff′。

　其中 a??是a的伴隨算子，f′是f的對偶空間，σf′，f為f′上的弱拓撲， da　　σf′，f表示 da??在弱拓撲σf′，f下的閉包。

　將題目瀏覽完，龐學林幾乎沒怎麽思考，直接開始在下面寫下答案。

　結論 1設f是e的子向量空間滿足f??≠e則存在 f∈e'不為 0，使得f，x0，??x∈f。

　結論2設??:e′→r是線性映射，且對拓撲σe′，e連續，則存在 x∈e使得??ff，x，??f∈e′。

　證明設??是f′上對拓撲σf′，f連續的線性泛函，在da??上取值為0。由結論1，為證弱拓撲下的稠密性，只需證明??≡0。

　由結論 2，存在x∈f使得……

　龐學林的書寫速度很快，整個證明過程幾乎沒怎麽停頓，隻用了不到兩分鍾，就完成了答題工作。

　“老師，答完了，應該沒什麽問題吧?”

　王崇慶有些出神，這道題在泛函分析中，算的上是壓軸大題了，對本科生而言，有一定難度。

　他原本都準備等龐學林答不出來的時候，再好好教訓他一番，可沒想到到這家夥的基礎似乎還不錯，竟然眨眼間就給出了證明。

　無論是證明思路還是過程，都簡潔明了，幾乎無懈可擊。

　台下，也響起了學生們的議論聲。

　“這家夥到底是誰啊，深藏不漏呀！”

　“這道題我一直沒什麽思路，沒想到他竟然這麽快就給解出來了。”

　“看樣子我們數學系牛人還挺多的。”

　……

　不少人紛紛將目光聚焦到龐學林身上。

　王崇慶臉色微沉，上課睡覺，就算成績再好也不行，他可不想輕易放過這家夥。

　他想了想，說道“這位同學，看來你的基礎不錯，那你就給大家講講，你對泛函分析這門課的理解吧。”

　泛函分析本質上屬於高度抽象化的一門課程，這也是它難學的原因，就算讓一位博士上台，也不一定能完完整整地將自己對這門課的理解描述出來。

　王崇慶嘴角微微翹起，他可不相信一個本科生有這樣的能耐。

　“老師，你確定……讓我來講課?”

　龐學林笑了起來。

　“確定！”

　王崇慶隱隱感覺到對方的笑容中有點詭異，不過他還是點了點頭。

　龐學林道“既然如此，那我就從泛函分析這門課的歷史開始說起吧。”

　“眾所周知，泛函分析這門學科誕生於20世紀的初期，本身是數學發展中公理化的一個結果。也就說，數學家希望實現分析學的公理化。同樣的公理化運動也出現在幾何和代數上。現在的泛函分析已經變成一個龐然巨獸了，特別是把它和調和分析放在一起的時候，很難分清楚什麽叫做調和分析，什麽叫做泛函分析。不過我接下來要講的不是為了搞清楚它的定義，而是關注它的基礎和未來的發展趨勢。”

　“我們首先討論一些早期的抽象分析，尤其是數學家如何將一個特殊的例子擴大化，使之成為一般意義上的定理。我們的討論主要涵蓋以下內容。一、fredhol， hilbert關於積分方程的工作;二、volterra 和hadaue， frechet 和 riesz 在抽象空間上的工作以及最後，hahn 和banach關於對偶這個概念的研究……”

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