數學和下棋有什麽關系?　　很多人都認為是有關系的，在一些小學中，聽說是要挑選會下棋的孩子，

　　老師就會挑選那些在算術考試中得了 100分的孩子，以為那樣的孩子是能下棋

　　的。這些孩子中的一些成了有名的棋手，大家就會誤解，數學和下棋是有必然

　　聯系的。

　　在1997年 8月末，世界棋王卡爾波夫來到中國，中央電視台的《體育漫談

　　》節目，還讓這位國際象棋的超級大師談談下棋和數學的關系。

　　問:你小時候是不是數學特別好?下棋和數學有什麽關系沒有?

　　答:數學和象棋，在邏輯上是有聯系的，但是要從具體上來說又是很難的。

　　棋手中很多是畢業於高等學校，但是學數學很高深的還不多。我本人在學習上，

　　是經過了一個過程的。我是從數學進入到機械，又從機械進入到經濟，最後，

　　我是從聖彼得堡大學獲得了經濟學博士的學位。

　　類似卡爾波夫這樣的回答，我已在圍棋手中間聽到過多次。特別是對電腦

　　有研究的俞斌九段，就一直被問到這樣的問題。中國圍棋手的回答，和這位國

　　際象棋超一流棋手的回答不會有什麽兩樣。俞斌的說法是，“圍棋的計算和數

　　學的計算是不同的。”想要在一局圍棋比賽中，下出什麽“勾股定理”或者“

　　三元兩次方程”或者“歌德巴赫猜想”，這都是很可笑的事情。一個小學生的

　　數學成績好，其綜合素質，可能要比成績不好的孩子要好一些，這是素質中的

　　一部分，就可能是適宜下棋的。但是，我們不能說，數學不好的孩子，是下不

　　好棋的。至少，在中國古代，還沒有數學這樣的一門學科，科學技術在中國，

　　是士大夫們看不起的。那些棋手在少年時代，是不能從數學上去發現才能的。

　　圍棋的“計算”這一個概念是比較抽象的。就和象棋的計算一樣，大多數

　　是在看我走什麽，對手會應什麽。無論是卡爾波夫還是胡榮華，在下棋的時候

　　的一個習慣的動作，都是有一個不斷微微的點頭動作，這個動作是很有節奏的，

　　這是大師在計算他們的一步步的棋。然後，他們有一個較長時間的停頓，他們

　　依然在思考。在思考這樣走了之後，會形成什麽樣的局面，對誰有利。然後，

　　又開始了一個微微點頭的動作，這是又開始了一種新的思路。

　　圍棋或者只需要最簡單的數學的計算，那就是加減乘除。這是為了點“目

　　”的，但是在更多的前半盤的比賽中，計算是有一點抽象的，雖然是仍然用目

　　來做單位，但是，這種計算，是有很多的不確定的因素的。一手棋的價值有多

　　少，這還是一個沒有定論的事，這也是電腦圍棋還沒有獲得很大進展的原因。

　　要說清這個問題，是要有數學家來發言的。好在從古到今，有不少數學家

　　或科學家是棋迷。

　　第一位數學家的話，讓我們大吃一驚。

　　他是唐朝的一行和尚，他也是一位天文學家。在中國的歷史上，有“疇人

　　”這一個名稱，可以統稱天文學家和數學家。一行就是最有成就的“疇人”之

　　一。他精通歷法，重新測定了 150多顆恆星的位置，發起在全國12個地點進行

　　天文觀測;並且歸算出相當子午緯線的長度。

這是現代人對他的評價。中國以　　前的數學總是和天文聯系在一起的，迎合封建制度，數學是不需要的，而天文

　　是需要的。中國是以農業立國的，天文就非常重要。而數學只不過是為了天文

　　而存在的副產品。天文在過去的年代，又經常和迷信在一起，每一顆星都有象

　　征的意義。數學就有一點神秘了。數學家也會成為無所不知的能人了。

　　他對圍棋的評論是有一點貶義的:

　　一行本不解弈，因會燕公宅，觀王積薪一局，遂與之敵。笑謂燕公曰:此

　　但爭先耳，若念貧道四句乘除語，則人人可為國手。

　　看來，一行確實是個不簡單的人。他就看了一局棋，就能學會下棋，而且，

　　立刻就能夠和當時棋下的最好的王積薪成為敵手。但是，這樣的描寫是站不住

　　腳的。破綻就在後面，一行在評論圍棋的時候，出現了一點問題。他的話前一

　　句非常正確，圍棋就是爭先。就是在比賽中永遠不失去主動。這是常識性的判

　　斷，知道的人太多了，也就會成為一句沒有意義的話。在後半句中，圍棋就變

　　成一種太簡單的遊戲了。一種遊戲能用四句口訣就能解決，那麽，比賽就會像

　　解一道代數式，棋局就不會有很多的變化，這是和圍棋的實情不同的。和歷史

　　上知識分子推崇圍棋的潮流不同，一行是在貶低圍棋。

　　一行在自己的專業上無疑是有權威的，但是，他不會在任何的地方都是權

　　威。在夜空中找到一顆星星，並且確定它的位置，對一行並不很難。而在棋盤

　　上和王積薪對抗，對一行來說，卻不會是一件容易的事。如果要拿出懷疑的證

　　據，那麽，除了《酋陽雜記》之外，沒有對此事的記載。另外，這樣有效的棋

　　訣，隻短短的四句，竟然沒有流傳下來。因而在世界上直到今天，“國手”還

　　是鳳毛麟角。

　　無獨有偶，南宋的哲學家陸九淵躺在床上，將一個棋盤掛在牆上，一連看

　　了兩天，突然跳起來說，這不是河圖嗎?於是他的下棋水平，立刻可以讓林安

　　的高手一先。“河圖”實際上是一種數字的排列方式，在現代，是沒有一個專

　　業棋手會認為河圖中會有圍棋的秘密的。

　　或許，這都不是真的，而是有人用圍棋和一行和陸九淵開了個玩笑。這樣

　　發表出來的觀點，是有一點離譜，很難叫人感到有研究的價值。

　　順便說一句，古代的人們可能以為棋下得好，不是長期努力的結果。就連

　　唐朝的第一高手王積薪的高超棋藝，也是在很短的時候獲得的。

　　《雲仙雜記》:王積薪夢青龍吐棋經九卷授己，其藝頓精。

　　《集異記》:王積薪從明皇幸蜀，夜宿深山，聞婦姑對談。天明，積薪具

　　禮以問，婦姑教以攻守、殺奪、救應、防守之法，從此天下無敵。

　　這是對圍棋的拔高，以為圍棋手之上，還有神，世上最好的棋手，是不能

　　戰勝神仙中的婦女的。這從科學的角度，也是很難有研究的價值的。在另一種

　　傳說中，還有她們在晚上用“口談”的方法下棋的描寫。有人將當夜這婆媳倆

　　的對局頭幾手，放到了棋盤上，一看大吃一驚。這樣的布局，是當代的高手也

　　難理解的，看來確實是“仙人”所為。

　　貶低和拔高都是離開了生活的真實，離開了圍棋的真實。

　　明朝才子王世貞寫了一篇《弈問》，專門回答關於圍棋的種種疑而未決的

　　問題。上面的問題恰巧都在他的“研究范圍”之中。

　　在回答一行和尚的這幾句話時，王說，這種情況是有的，一行是“神於數

　　”的人，神於數，是可以觸類旁通的。但是“四語乘除人人國手”，是不可能

　　的。對於陸九淵的事，只不過是他的門徒借類似一行和尚的情節，來抬高老師

　　罷了。況且，陸九淵的棋實在是不夠上品的。

　　在回答王積薪是否在山中學得了棋時，王說，可能是有的，但是，這不是

　　王積薪自己編出來抬高自己，而是別人在借神而貶低王積薪。你看，對王積薪

　　就教給攻守劫殺這樣簡單的東西，還說這人可以教給他“平常的形勢”。這樣

　　的說法，貶低王積薪是可以看出來的。

　　王世貞的觀點，有一點客觀性，可以參考。至少，對一行和尚和陸九淵的

　　評價中，對數學和圍棋之間的“硬性的”聯系做了否定。

　　北宋科學家沈括對圍棋做了一番研究。沈括是科學上的一個雜家，他的建

　　樹很多。他在數學上的成就，是創立了“隙積術”(二階等差級數求和法)、

　　“會圓術”(已知圓的直徑和弓形的高，求弓形的弦和弧長的方法)。

　　他在《夢溪筆談》中，對圍棋做了數學式表述。這在宋朝這一圍棋十分興

　　盛的時代，在眾多的圍棋評論中是獨樹一幟的。錢寶琮在《宋元數學史論文集

　　》中，認為沈括討論圍棋棋局的計算方法，是在古代的數學史上不可多得的寶

　　貴文獻。錢先生看到了原文中的錯誤，一一加以校訂。沈括的計算方法，用現

　　代的語言和算式說出來，就是:

　　每一個棋局，到終局時，每一個交叉點總是不外乎三種情況。黑、白、空。

　　所以，在計算全局的可能的變化時，是很容易的。不過，由於數字特別大，在

　　當時是沒有辦法將它說出來。

　　如果是方2路用4子，那麽:

　　3^4=81

　　如果是方3路用9子，那麽:

　　3^9=19683

　　方4路，那麽:

　　3^16=43046721

　　方5路，那麽:

　　3^25=847288609443

　　方6路，那麽:

　　3^36=150094635296999121

　　下完一盤正常的棋，其可能的變化，是3^361，結果是“連書萬字52個”。

　　這就是所有的變化了。

　　用現代的算法，是這樣的:

　　logN = 361log3

　　= 361X0.47712

　　= 172.24075

　　N ≈ 1.74 X 10172

　　每 4位數可以寫一個“萬”，172÷4 = 43。

　　沈括在這裡計算有錯誤，應當是“連書萬字43個”。

　　後來，中科院的專家，用電腦算出總局數為:

　　1740896506590319279071882380705643679466027249502635411948281187

　　06801051676184649841162792889887149386120969888163207806137549871813

　　55093129514803369660572893075468180597603

　　這是一個天文數字。即使每一秒鍾下一局棋，要下完這樣多的局數，粗略的

　　計算，要5.52X10164年，這是一個 164位數，照沈括的寫法，是要寫41個萬字。

　　能活這樣長久的，大概只有太陽和地球了。

　　數學的計算，總是將最規矩的條件來作為計算的前提。這樣的計算，就還有

　　不夠周全的地方。這樣大的數字，是沒有辦法用實踐來驗證是否能夠窮盡圍棋的。

　　一種意見是圍棋是沒有辦法窮盡的。圍棋還有打劫，還有大眼填滿提空，整

　　盤棋黑白都擺滿了之後，還可以用一枚棋將對方所有的棋全提起來，然後重新開

　　始。中國棋手馬曉春比較傾向於這種意見。

　　另一種意見是，實際上的棋局，遠遠地少於這些數字。理由不外乎是，圍棋

　　是兩人在輪流對下，所以，在一般的情況下，是一半黑棋，一半白棋，或者是由

　　於提子而相差不多。又由於圍棋要有眼才能生存，黑棋、白棋都不能佔盡空格。

　　而一盤棋要能夠分出勝負，一般來說，又要使黑白子各在 100手以上，這有使全

　　空格或大多數的空格是不可能的。更從棋型的角度來看，有很多是根本不可能出

　　現的。韓國的棋手劉昌赫認為，實際上的棋局是有窮盡的。有人認為，這一數字

　　在3120左右。

　　在這兩種觀點面前，靜靜想一想，是一點也不矛盾的。馬曉春說的是一種數

　　學的模式，而劉昌赫說的是一種實戰的情況。

　　但是，這種計算是一種凝固的計算，沒有先後的次序，而在比賽中，先後的

　　次序是不能不看的。所以，同樣的結果，可能會有不同的過程。

　　這樣，另一種計算方式就會出來了。在第一步棋落下的時候，有 361種選擇，

　　在第二步棋落下的時候，有 360種選擇，……

　　這樣的算式是:

　　361X360X359X358X357……X2X1

　　這樣的算式稱作是361的階乘，寫為“361！”。

　　說出來叫人驚訝，在頭三步棋中，就有46655640種選擇。

　　在我女兒升入大學的那一年，有一點空閑，她為我用對數計算了這一個“361！”，

　　用了整整兩天。她在這 361個數中，分解出 71個質數，大致算出“361！”是一個

　　756位的大數，比 3^361要大得多！(日本曾計算出結果為 768位數)

　　不過，在專業棋手看來，這樣的數字更是一個很虛的數。例如，開局的選擇

　　是10多種，至多不會超過50種，沒有一個人會將第一手放在“ 1.1”這樣的位置

　　上的。而在對手和你的棋子糾纏在一起的時候，你能選擇的點是不多的，你不會

　　離開這一戰場，去空曠的地方下棋。

　　但是，這也是一種數學的模式。正像國際象棋的電腦，在比賽中，選擇每一

　　步棋的時候，總是要掃描一遍所有的棋子，來做一比較。“深藍”每秒有兩億次

　　的計算，但是，卡斯帕羅夫認為，他雖然只有每秒三步的計算速度，但每一步都

　　是有意義的。他的選擇，只有十來種。而電腦的大多數的計算是浪費在那些“臭

　　棋和昏著”中的，而電腦是不得不作這樣的全覆蓋性的掃描的。

　　在采訪《黑白之道》的時候，我曾到過中關村，見到了著名的數學家吳文俊。

　　記得那一天，北京正在下雪，就在這樣的北方典型的環境中，聽到了上海的本地

　　話。這使我這樣一個常年在外奔波的人，感到一種特別的親切。

　　他是國際公認的數學大家，他的“拓撲學”的研究成果，被冠於他的姓氏。

　　但是，他是一個棋迷。他說，在研究之余，是會去看圍棋的電視的。他喜歡

　　聽華以剛、程曉流和王元的講棋。在家中，也有圍棋和棋子。順便說，在中國科

　　學院中，有不少的棋迷。當然，像吳先生這樣的院士科學家兼棋迷，還是不多的。

　　問吳文俊對數學和圍棋的關系，是乾脆的一句話回答:圍棋和數學無關。

　　他後來寄來了不少的資料，我已經將這些資料寫入到上面的文章中去了。

　　在采訪中，在電話中，在書信中，這位數學大家對圍棋的一往情深是能夠感

　　受到的。但是，他是現代的科學家，是崇尚科學的，他不願意因為喜歡圍棋而說

　　假話。在以下的“語錄”中，你是能夠了解他的觀點的。恰巧，這就成為這一篇

　　文章的科學的總結。

　　對於沈括，我十分佩服，尤其是他不僅提倡而且親身實踐作科學試驗，如果

　　這一點早能為人認識而跟上，中國早就成為科技大國了。但對《夢溪筆談》中的

　　數學部分，則我不敢恭維，棋局的總局數更不值一提，對棋局的過分簡單化，固

　　然不值一笑，計算也有錯誤，宋時筆算尚未傳入(唐時雖傳入而未受重視)，沈

　　括想來只能用籌算，因而對 3^361這樣的大數就很難計算，並且出錯。對現在的

　　計算機則是輕而易舉的。

　　關於棋理，有一個有趣的數學定理，計算機的創始人之一 Von Neumaun，也

　　是所謂博弈論或對策論的創立者，1994年的諾貝爾獎金得主，都是因應用博弈論

　　於經濟學有貢獻而得獎。Von Neumaun 的定理大意是說，兩人博弈，勝負已定。

　　自然這要做數學上的說明，而且只是一個抽象的定理，與真正的棋局無關。

　　橋牌有深奧的數學理論，且有法國科學院士的專著，圍棋我相信沒有，以後

　　也很難會有，我個人的意見是:數學家不要在這上面浪費時間和精力。

　　但我對於計算機下棋還是有興趣的，最近看報紙，計算機已有國際象棋的新

　　程序，打敗了卡斯帕羅夫，還計劃由計算機和卡斯帕羅夫作一系列比賽。但這主

　　要是程序編得好，計算機速度大大提高之故，與數學完全無關。

　　我家裡的計算機有一個圍棋的程序，我與計算機下過一次，計算機下起來很

　　有架勢，但還是輸給了我這個臭棋手，但從國際象棋的情況來看，編出一個較好

　　的圍棋程序，用超高速度的計算機，要打敗一個中低段位的圍棋手，在近期內還

　　是可能的，但這仍與數學無關。

　　數學是要算的，圍棋恰恰是不能算。數學的算和圍棋的“算”是不一樣的。

　　圍棋要做到真正能夠進行數學處理，首先要考慮建立數量的關系，說得簡單一點，

　　就是要“定量”。沒有這一步，就是難的。比如說圍棋的子力，這枚子放在棋盤

　　上，位置高低，光說子的力量大或者小不成功，一定要講子力的多少。

　　這樣的表達方式，從現在看還非常遙遠。

　　要實現圍棋電腦與人的對弈，得等“定量”的問題解決。創造性的東西是無

　　法估計它的進程的。或許在幾年中有人想出來，或許幾百年也沒有人想出來，這

　　東西很難說。但我相信，這東西十分難。

　　已故老作家竹可羽先生寫了一篇文章，將三線作為邊角線，四線為中腹線，

　　三線圍住邊角 136個交叉點(目)，用去48枚子。由此可計算出每枚子的價值。

　　136目÷56=2.4286(邊角線每個子的平均值)

　　121目÷48=2.5208(中腹線每個子的平均值)

　　中腹每一枚子的平均值大於邊角線每個子的平均值0.09目， 而棋盤的大小離

　　開19道，不論是往大還是往小，差數都會變大。這就是17道發展到19道的原因，

　　也正是19道不能發展到21道的原因。中腹與邊角正好成為對抗的力量。

　　這才是真的數學。這裡有幾個原則先定下來，既要取勢又要取地。這篇文章

　　論證的是邊角佔地多還是中間佔地多，這裡就有定量的問題。

　　今後誰在圍棋上要突破，先得將問題簡化，把不必要的東西刪去，重要的保

　　留下來。簡化之後再考慮。竹可羽先生就是把問題簡化了，才使他的研究十分精

　　彩。

　　圍棋對我的工作沒有幫助，而且我的數學對圍棋也沒有幫助。

　　圍棋和數學相像的是，數學經常假設一些什麽，推測一些什麽。如果假設很

　　多，結果很少，就沒有什麽意思。如果假設很少，推出的東西很多，這就有意思，

　　有價值了。圍棋正是這樣，它的規則十分簡單，四麵包圍你就吃掉。而且有兩個

　　眼就吃不掉，這在實際上是很深刻的，容易得到數學家的愛好。

　　數學和圍棋是在各自的軌道中運轉著。

　　數學和圍棋都是對世界的理解和表述，不過用的不是相同的語言。

　　圍棋中的數學問題，和下棋本身無關，這和國際象棋一樣，可以說是“物以

　　類聚”。

　　難怪，數學家吳文俊，和國際象棋世界冠軍卡爾波夫表述的，沒有什麽兩樣，

　　這真是“英雄所見略同”。