愛因斯坦57關於布朗運動的理論第3-5部分

　　第三部分題為《由熱運動引起的參數α的變化》，這一部分也是方程4的應用，不過不是第二部分簡單應用場景的使用，而是研究目標深入了一層，探討起了很大數目(n)的全同體系問題，根據方程4，在N個體系中在任意選定的時刻體系參數α處於α和α+dα之間的體系個數dn為方程8:

　　dn=je-(NΦ)/(RT)da=F(a)da

　　其中，dn是體系參數α處於α和α+dα之間的體系個數。

　　對提出方程8的目的和作用，愛因斯坦在論文中做了一段文字說明:“我們要用這個關系(注:方程8)來求由不規則的熱過程所引起的參數α的不規則變化的量值。為此目的，我們用符號來表示:在時間間隔t內，在對應於勢Φ的力同不規則的熱過程的聯合作用下，函數F(α)不起變化;這裡的t表示如此短的時間，以致單個體系的α這個量的相應變化可以被看做是函數F(α)的自變數的無限小變化。”

　　這段說明指出了物理體系參數α的不規則變化由對應於勢Φ的力和不規則的熱過程兩方面原因導致，而這一部分的目的求解的是不規則的熱過程單方面導致參數α變化的幅度。

　　做了這段說明後，愛因斯坦對後文提到的坐標χ進行了設定，從這裡開始論文的思路進入凡人難解的階段:“如果我們在一條直線上，從一個確定的零點出發，劃出一些數值上都等於α量的線段(注:即布朗運動中花粉移動距離)，那麽每一個體系都在這條直線上對應於一個點(α)。F(α)是體系點(α)在直線上的配置密度。在時間t內，這種體系點在一個方向上通過直線上的一個任意點(α0)的數目，同相反方向上通過的數目必定完全一樣。”

　　這段設定提出了坐標χ的含義，其坐標基本單位為“等於α量的線段”，物理體系則以點(α)的χ坐標值來表示，F(α)則是點(α)在直線上的配置密度。最後一句話是一個物理體系平衡條件的設定，體系點在正反方向通過一個任意點的數目必定相等。

　　做了這幾點設定後，愛因斯坦在論文中就進入了正式的理論推導階段。首先，對應於勢Φ的力引起的參數α量值變化△1為方程9:

　　Δ1=-Bt·?Φ/?α

　　其中，B為體系關於α的遷移率，其值同α無關;此方程說明的是α的變化速度同作用力成比例，而同參數α的值無關。

　　單純由於對應於勢Φ的力引起，不考慮不規則的熱過程的影響，在時間t內在負的方向通過任意點(α0)的體系點數目n1，根據方程9可得，其為方程10:

　　n1=-BtF(α0)·(?Φ/?α)α=α0

　　考察了對應於勢Φ的力對體系點的影響後，愛因斯坦又開始考察不規則的熱過程的影響，並做出了進一步的參數設定:“進一步假設:一個體系的參數α在時間t內由於不規則的熱過程而經受的變化的值處於△和△+d△之間的幾率等於ψ(△)，此外ψ(△)=ψ(-△)，而ψ是同α無關的。”

　　因此，由於不規則的熱過程，在時間t內，在正方向上通過任意點(α0)的體系點數目n2，根據方程8最右邊可得，其為方程11:

　　n2=òF(α0-Δ)·χ(Δ)dΔ(積分上下限為∞和0)。

　　F(α0-Δ)表示體系點是從負方向朝著正方向通過任意點(α0)的。

　　在方程11這論文中首次以χ(Δ)的形式出現了坐標χ，前面只有那句“如果我們在一條直線上，從一個確定的零點出發，劃出一些數值上都等於α量的線段，那麽每一個體系都在這條直線上對應於一個點(α)。”的文字說明。

　　在方程11的後面，愛因斯坦緊接著列出了ψ(Δ)同χ(Δ)的關系式方程12:

　　òψ(Δ)dΔ=χ(Δ)(積分上下限為∞和0)。

　　(注:ψ(Δ)為體系的參數α在時間t內由於不規則的熱過程而經受的變化的值處於Δ和Δ+dΔ之間的幾率。)

　　方程12的含義是體系參數α在時間t內由於不規則的熱過程而經受的極小變化dΔ與其概率ψ(Δ)的積分就是考察的坐標軸上χ(Δ)，即體系點的變化量。

　　由於不規則的熱過程，在時間t內，在負方向上通過任意點(α0)的體系點數目n3，根據方程8最右邊可得，其為方程13:

　　n3=òF(α0+Δ)·χ(Δ)dΔ(積分上下限為∞和0)。

　　出於體系點配置密度函數F的不變性，有關系式14:-n1+n2-n3=0

　　將方程10、11和13代入，可得方程15:

　　B(?Φ/?α)α=α0·F(α0)t+1/2F′(α0)`Δ2=0

　　其中，`Δ2=òΔ2ψ(Δ)dΔ(積分上下限為+∞和-∞)，此為關系式16。

　　關系式16表示在時間t內由不規則的熱過程所引起的量α變化的平方的平均值，愛因斯坦在論文中通過一句話的過渡就直接給出了本部分最終的結論公式，即布朗運動的花粉運動公式17:“從這個關系式(注:關系式16)，考慮到方程8，我們得到:√`Δ2=√(2RBTt/N)。”

　　之後，在一段給公式17的參數說明中，愛因斯坦結束了第三部分:“這裡R是氣體方程的常數(8.31×107)，N是每摩爾氣體中實際分子的數目(大約為4×1023。注:1922年愛因斯坦推出了更準確的數字為6.56×1023)，B是體系關於參數α的遷移率，T是熱力學溫度，t是由於不規則的熱過程所引起的α的變化所經歷的時間。”

　　關於由關系式16到公式17的過渡:

　　因為òψ(Δ)dΔ=χ(Δ)，所以關系式16可變為`Δ2=òΔ2χ(Δ)，因為χ(Δ)是體系點運動方向坐標軸的體系點坐標值，實際代表了體系點的個數，因此，其滿足方程8的關系，即χ(Δ)等價於方程8中的體系個數dn，這也是愛因斯坦在那句文字說明中提到“考慮到方程8”的原因。

　　因此，將方程8代入`Δ2=òΔ2χ(Δ)，將Δ看做方程8中的α，再積分就得出了公式17。其中勢Φ由類似方程9:Δ1=-Bt·?Φ/?α的關系給出。

　　限於目前的微積分水平，筆者暫時給出了下面不太嚴謹的推導:

　　給公式17的參數做了一段文字說明後，論文《關於布朗運動的理論》第三部分就結束了，第四部分題為《把推導出的方程應用於布朗運動》，剩下的這兩部分不太涉及複雜的微積分運算，只是公式17的簡單應用，但也能看出公式17威力的強大，不枉愛因斯坦一番理論推導和讀者的一番燒腦。

　　在第四部分，愛因斯坦首先用公式17計算了一個懸浮在液體中的球形物體在時間t內在一定方向(坐標系的X軸方向)上所經歷的平均位移，這個問題就是前一篇關於布朗運動的論文《熱的分子運動論所要求的靜液體中懸浮粒子的運動》所要解決的核心問題，現在利用公式17來解決，那感覺就像砍瓜切菜那麽輕松愉快。

　　首先，根據基爾霍夫《力學講義》中計算懸浮質速度的公式為(本作《愛因斯坦40》中的公式11): w=K/(6πkP)

　　其中 w是單個懸浮粒子速度，K是作用在懸浮粒子上的力， k是液體的摩擦系數，P是懸浮粒子半徑。

　　根據上述公式可得物理體系關於參數α的遷移率B為公式18:

　　B=1/(6πkP)

　　將公式18代入公式17即得懸浮球在X軸方向上的平均位移的值為公式19:

　　√`Δx2=√[RTt/(N·3πkP)]

　　公式17的應用場景一就此結束，輕松解決愛因斯坦1905年奇跡年的五大論文之一《熱的分子運動論所要求的靜液體中懸浮粒子的運動》的問題。

　　公式17的應用場景二為計算懸浮球在液體中繞它的直徑作(無向位摩擦的)自由轉動的平均轉動值√`Δr2。

　　根據基爾霍夫《力學講義》中計算懸浮質旋轉角速度為公式20:

　　ψ=D/(8πkP3)

　　其中ψ是單個懸浮粒子旋轉角速度，D是作用在懸浮粒子上的動量矩，是液體的摩擦系數，P是懸浮粒子半徑。

　　根據上述公式可得體系關於參數α的遷移率B為公式21:

　　B=1/(8πkP3)

　　將公式21代入公式17即得懸浮球在液體中繞它的直徑作(無向位摩擦的)自由轉動的平均轉動值√`Δr2為公式22:

　　√`Δr2=√[RTt/(N·4πkP3)]

　　對比公式19和公式22可知，由分子運動所引起的旋轉運動(P3)隨著P的增加而減少的程度要比平移運動(P2)快得多。

　　在論文中愛因斯坦拿實驗數據代入了公式22得出了相應的理論計算值:“對於P=0.5mm以及17℃的水，這公式(注:公式22)給出1秒鍾內所經歷的角平均大約是11“;在一小時內大約11′。對於P=0.5μm以及17℃的水，對於t=1秒鍾我們得到大約100角。”

　　後來在1909年，佩蘭對根據愛因斯坦的公式代入最新的數據預測的結果作了實驗檢驗，他用了直徑約13μm的樹脂粒子，它們包含有小的內含物，從而使他能夠觀察它們的旋轉運動，他求得的實驗值同愛因斯坦的公式預測的值符合得很好。

　　在第四部分的最後，愛因斯坦簡略的提到了公式17[√`Δ2=√(2RBTt/N)]在其他方面可能的應用:“所推導出的這個關於√`Δ2的公式還可以用於別的情況。比如，要是用閉電路的電阻的倒數來代替B，那麽這公式就表明在時間t內平均有多少電通過任何一個導體的橫截面，這個關系式又是同那個關於長波長和高溫的黑體輻射的極限定律有聯系的。可是，既然我未能找到更多的可供實驗驗證的結果，所以在我看來，去討論更多的特殊情況，那是無益的。”

　　展望了公式17應用前景廣泛後，論文第四部分就正式結束了，第五部分題為《關於√`Δ2公式有效的極限》，這一部分討論的是論文開始研究目的部分提出的第三點——理論推導可觀測到布朗運動的時間下限。

　　首先物理體系參數α由於分子熱運動的關系導致的平均變化速度為公式23:

　　√`Δ2/t=√[2RBT/(N·√t)]

　　在論文中對著公式23愛因斯坦給出了比較詳細的文字說明:

　　“(參數α平均變化速度)對於無限小的時間間隔t就變成了無限大，這顯然是不可能的，否則每個懸浮粒子都必須以無限大的瞬時速度在運動。這個緣由在於，在我們的推導中，我們暗中假定了:時間t內的現象過程必須被看做是同其緊接著的前面時間內的現象過程無關的事件。但是，所選取的時間t越短，這個假定就越難站得住腳。”

　　接著，愛因斯坦對上述的文字論斷進行了理論說明:

　　設時間z=0時，變化速度的瞬時值為 da/dt=β0;

　　設在時間z=0以後的某個時間間隔內，變化速度β不受不規則的熱過程的影響，而僅僅取決於被動阻力(1/B)，則有關系式24:

　　-μ·dβ/dz=β/B

　　對於參數μ愛因斯坦給出了一段比較詳細的文字說明:“這裡，μ是由μ(β2/2)應該對應於變化速度β的能量這一規定來定義的。因此，比如在懸浮球的平移運動的情況下， μ(β2/2)就是球的動能連同被球帶動的液體的動能。”

　　其實，簡單說μ就是體系點的質量，β(時間z=0以後的某個時間間隔內變化速度)和β0(時間z=0時，變化速度的瞬時值)的關系為公式25:

　　Β=β0·e-z/(μB)

　　(注:根據關系式24積分可得公式25。)

　　在對公式25的兩段文字評說中愛因斯坦正式結束了論文《關於布朗運動的理論》:

　　“由這一結果(注:公式25)，我們可以斷定:公式17[√`Δ2=√(2RBTt/N)]只是對於那些比μB大的時間間隔才能成立(注:此時β≦β0)。

　　對於直徑為1μm和密度ρ=1的小物體，在室溫的水中，公式17的有效性的下限大約是10-7秒;這個時間間隔的下限同小微粒半徑的平方按比例而增大。無論對於粒子的平移運動還是對於粒子的旋轉運動，都同樣成立。”

　　愛因斯坦關於布朗運動的第二篇論文《關於布朗運動的理論》就此正式結束了，此篇論文從理論角度闡述布朗運動的結論公式17[√`Δ2=√(2RBTt/N)]比前一篇論文結論公式[ lx=√`x2=√(2Dt)]的適用性更廣，通過確定物理體系關於參數α的遷移率B的不同表達式可以將公式17應用到不同的研究領域。

　　阿爾伯特·愛因斯坦的1905奇跡年第六篇論文《關於布朗運動的理論》於1905年12月19日被《物理學年鑒》收到，最終於1906年2月8日發表。