不動點的現象在自然界、生活中隨處可見。

　　有次大博老師帶著一批學生到一座寺廟去參觀，老師把頭伸到大吊鍾裡去觀察鍾的結構，有個學生很淘氣，想嚇唬這位老師，就使勁用撞鍾木去敲擊大鍾，結果不但沒有嚇著老師和旁邊的女同學，自己反而被震耳的鍾聲嚇了一大跳。

　　為什麽會出現這種現象呢?

　　大博老師畫了一張圖並解釋說，這與在一個碗裡倒滿水，然後用筷子敲碗邊，我們可以看到波紋從碗周圍向碗中心移動的現象是一個道理。此時中心部分波紋因互相抵消而消失。

　　你站的地方實際上是聲波的不動點，相反，敲鍾學生站的地方，恰是鍾振動最大的地方，所以聲音自然特別震耳。

　　比如說拿來同一個人的大小兩張照片，把小照片隨手疊放在大照片之上，然後你向觀眾宣布:小張照片上一定有一點O，它和下面大張照片與之正對著的點O′，實際上代表著同一個點。

　　對此，你的粉絲一定會半信半疑。不過，當你告訴他如何找到這個不動點時，他們的一切疑慮都會煙消雲散。

　　設大照片為A′B′C′D′，小照片相應為ABCD，延長AB交A′B′於P點，過A、P、A′，及B、P、B′分別作圓。則兩圓交點O即為所求的不動點。

　　結果說明了O點在大小照片中，所處的位置沒有變動，即O為照片位置變換的不動點。

　　瞧！不動點現象是多麽神奇，多麽耐人尋味！

　　另一個例子是星空超市等地方可以看到的平面地圖，上面標有“您在此處”的紅點。如果標注足夠精確，那麽這個點就是把實際地形射到地圖的連續函數的不動點。

　　地外星繞著它的自轉軸自轉。自轉軸在自轉過程中是不變的，也就是自轉運動的不動點。

　　關於不動點系統的研究，華礐證明:任意一個把n維球體變為自身的連續變換，至少有一個不動點。這就是著名的不動點定理！

　　粗淺地說，就是“連續變換”原先距離很小的兩點，變換後的距離依然很小。至於“n維空間”，這是一個抽象的概念。

　　具體地說，直線是一維空間，平面是二維空間，普通空間是三維空間，等等。因而線段是一維球體，平面圓域是二維球體，普通的球是三維球體，等等。

　　再比如你拿一個平底盤和一張恰好蓋住盤底面的紙，紙上的每一個點正好對應著它正下方盤面上的一個點。現在把紙拿起來隨便揉成一個小紙團，再把小紙團扔進盤裡。

　　那麽，根據不動點定理，不管小紙團怎樣揉，也不管它落在盤底的什麽地方，我們可以肯定，在小紙團上至少有一個點，它恰好位於盤子原先與這一點對應的點的正上方。盡管我們說不準這樣的點在哪兒。

　　以上事實我們可以給予如下說明:假設小紙團在盤面上的正投影為區域Ω?。顯然，原紙片上與Ω?相對應的點一定位於Ω?的正上方，假設紙團裡的這部分在盤底的正投影為區域Ω?，顯然Ω?