1.不可達基數

　　可數，不可數，後繼，極限，正則，奇異。不可達基數就是指不可數正規的強極限基數，如果是不可數正規的極限基數，則稱之為弱不可達基數。可數就是指小於等於阿列夫零的基數。反之不可數就是指大於阿列夫零的基數。後繼，就是指比它小的基數中有最大值，極限就是指比它小的基數中沒有最大值，強極限就是比它小的任意基數中， 2的次方均小於它。正規就是到達它的最短長度等於本身，也就是若 k是正則基數，則不存在小於 k個小於 k的集組之並的基數為 k，或者說不存在小於 k個嚴格遞增的序列，其極限為 k。奇異就是到達它的最短長度小於本身。對於基數 k，存在小於 k的嚴格遞增的序列的極限為 k，則 k為奇異基數。正規和奇異基數引入了共尾度的概念，共尾度就是到達它的最短長度。後繼序數的共尾度是 1。正則基數就是 cf ( k )=k，奇異基數就是 cf ( k )不可達基數 k就是對任意小於 k的基數，取冪集的基數仍然小於 k並且由任意小於 k個小於 k的集組之並的基數仍然小於 k。而對比弱不可達基數只要滿足舉個例子: cf ( 1 )=1， cf (任意有限數)=1， cf (ω)=ω， cf (ω_1 )=ω_1 (不存在長度是ω的序列，因為小於ω_1的基數是可數的，但可數個可數集之並(也就是它們的上確界)可數，不可能是ω_1 )。 cf (ω_ω)=ω(長度ω的序列取ω，ω_1，ω_2，ω_3，……)。對於極限序數，有 cf ( a )=cf (ω_a )，所以對於不可達基數 k， k=ω_k，但是，這樣的奇異不動點非常多。比如說 a是任意的基數，然後設序數列ω_aω_(ω_a )，……設 k是它們的確界，很顯然容易證明 k=ω_k，但是很遺憾，這基數仍然還是奇異基數，並且它的共尾度是ω。好了。以下基數的性質。 0，可數，正規，強極限。 1，可數，正規，後繼。 2，可數，非正規，後繼。ω，可數，正規，強極限。ω_1，不可數，正規，後繼。ω_2，不可數，正規，後繼。ω_ω，不可數，非正規，極限。ω_(ω+1 )，不可數，正規，後繼。ω_(ω_1 )，不可數，非正規，極限。阿列夫不動點，不可數，非正規，極限。很顯然，用替代公理模式獲取的基數，三個條件都不能同時滿足，所以都不是不可達基數。不過，在大於ω的基數中，正規極限的基數則就是不可達基數。也可以說，從阿列夫零到不可達基數其概念意義上的距離，跟從 0到阿列夫零是一樣的。有了替代公理模式，你可以構造類似 omega-fixed-point={ x∈ωf ( 0 )=ω， f(x)=ω_f ( x-1 )}的集合，通過更大的 f就能獲取更大的基數。但是，很顯然，由替代公理所迭代獲取出來的基數，全部都是奇異基數，其 x∈的那個數就是它的共尾度或者是共尾度比這個數還小，哪怕再大，均不符合 cf ( k )=k的條件。因此不可能抵達不可達基數。不可達基數本身也是阿列夫數，同時也都是不可達的阿列夫不動點，貝斯不動點，極限基數(因為對於後繼基數阿列夫( a+1 )還可以更抽象的理解不可達基數，假如連續統假設成立。則 2 ^阿列夫零=阿列夫一，

2 ^阿列夫一=阿列夫二……你可以這樣迭代下去，你能得到阿列夫(阿列夫(阿列夫一))，阿列夫(阿列夫(阿列夫(阿列夫……)))，你所想象到的迭代，無論是多麽的變態，你都不可能迭代出不可達基數。因為不可達基數是正則基數，不可能從下至上抵達它。舉個例子，有限的數，它們經過任意有限次迭代，都不可能到達無窮大，只能用∞這個符號表示，同樣，∞(指小基數)，哪怕它們經過任意∞次迭代，也不可能到達不可達基數。你取到 k之後，那麽 k和 2 ^ k都是正則的大基數，繼續對 k替代公理模式以及對 k取冪集，仍然不可達的就是第二個不可達基數。馬洛基數一個無窮基數κ是馬洛基數( Mahlo cardinal)當且僅當κ是一個不可達基數並且是正則基數{λ是不可達基數{λ為了得到以上結論，我們來證明如果κ是任何不可達基數，則是強極限基數 C:={λ假設基數λ無界性:任取序數αα並取γ=supn∈ωγ n，因為κ>ω是正則的，所以γ現假設κ是馬洛基數，則κ是不可達基數，而且是正則的 X:={λ為不可達基數 X∩ C={λ命題 1:如果不可達基數κ=min {λλ是第λ個不可達基數}，則κ不是馬洛基數。命題 2:如果κ是馬洛基數，則集合是不可達基數{λ先證明命題 1:按照定義，任何小於κ的不可達基數γ都是第α是不可達基數 X:={γ命題 2:假設不可達基數{λα}是κ上的無界閉集。因為κ是馬洛基數，所以是不可達基數 X={λ是不可達基數 X={λ