脫殊擴張:是說包含 V -可定義的偏序集 P.然後 P上面有一個濾子稱之為脫殊濾子 G.這個脫殊濾子對於 V而言就有一種 transcendence的感覺(即脫殊)接著然後通過把 G加到 V中來產生一個新的結構:( V的)脫殊擴張 V[G].作為一個 ZFC的模型。那麽脫殊複宇宙就是:擁有在所有的力迫擴張(和一些 ground models)下 closure形式的宇宙 V.這是 woodin的成果之一。它確保了廣義連續統的成立。

　　脫殊複宇宙假設:脫殊複宇宙假設認為我們所處的宇宙只是個例子，存在著許多類似於我們宇宙的其他宇宙，每個宇宙都有其自己獨特的物理規律和初始條件。這些不同的宇宙被稱為“平行宇宙”

　　脫殊複宇宙與複宇宙:在Hamkins關於複宇宙的描述出現之前，Woodin等人就提出過脫殊複宇宙(generic multiverse)的概念(參見[12]、[14]等).Hamkins的複宇宙概念與脫殊複宇宙概念有較密切的聯系但不盡相同.脫殊複宇宙是由一些宇宙生成的在力迫擴張關系的對稱閉包關系下封閉的集合論宇宙的聚合.例如，假設M是一個可數傳遞的ZFC模型.任給可數傳遞ZFC模型M1，M2，我們定義M1～Mz當且僅當M2是M;的力迫擴張或M;是M2的力迫擴張，則Va=[M]是由M生成的脫殊複宇宙.定理(Laver 9-Woodin-Reitz10])如果V是W的力迫擴張(即W是V的基模型)，那麽W是V的內模型.並且存在V的所有基模型的統一的定義.即，存在集合論公式p(r，3)使得，如果V=WG是由W中的偏序P上的脫殊濾GCP生成的脫殊擴張，那麽存在rW使W=fx(ra)3.根據上述定理，容易看出Hamkins的複宇宙概念由於滿足可實現公理和力迫擴張公理因而也是脫殊複宇宙.顯然，脫殊複宇宙的強調的封閉性弱於複宇宙，這是因為，Hamkins通過複宇宙概念希望表達的是他關於集合論宇宙二階存在的多宇宙觀，而我認為脫殊複宇宙在Woodin等人著作中被提出是實在論者在執行哥德爾計劃過程中向形式主義的妥協

　　脫殊複宇宙

　　定義1.

　　令M為ZFC的可數傳遞模型，則由M生成的脫殊多宇宙VM為滿足以下條件的最小模型類:

　　1.M∈VM;

　　2.如果N∈VM，而N'=N[G]是N的脫殊擴張，則N'∈VM;

　　3.如果N∈VM，而N=N'[G]是N'的脫殊擴張，則N'∈VM。

　　簡單說，VM是包含M並且對脫殊擴張和脫殊收縮封閉的最小模型類。由V生成的脫殊多宇宙記作V。

　　定義2.2 (脫殊多宇宙的真)對任意ZFC的可數傳遞模型M，和對任意集合論語言中的語句σ，我們稱.σ是M-脫殊多宇宙真的，當且僅當它在VM的每個模型中都真，記作VM=σ;

　　σ是M-脫殊多宇宙假的當且僅當VMF7σ;

　　.σ是M-脫殊多宇宙無意義的當且僅當VMFσ並且VMF7σ。

　　特別地，如果σ在由V生成的脫殊多宇宙中為真，則稱σ是脫殊多宇宙真的，記作V=σ。，

　　脫殊擴張:力迫法

　　統假設的否定的一一致性，即

　　(222)

　　ZFC- Com(ZFC)→Com(ZFC+-CH).

　　與哥德爾對已有zFC模型M進行限制從而得到滿足特定命題的子模型L“的構造方式不同，力迫法所構造的模型M[GI是包含給定模型M為其子模型的更大的模型。

　　假設ZFC一致，那麽由哥德爾的邏輯完全性定理”。就存在一個zFC的集合模型。再由定理2.35.及Motowsh坍塌，可以得到一個ZFe的可數傳遞模型，我們一般把可數傳遞模型作為力追法的原模型(grond moder).，

　　元素稱作條件(onditon).對ng∈p，若μ≤q(w≤η或ρ∞小.我們稱條件p比η強;若p⊥小.即不存在r∈P滿足r≤ρ且r≤小.則稱條件ρ與q不相容或不能同真。

　　定義2.2.0假設P是偏序我們稱DSP是網密的(demwe).當且僅當對任意ρ∈P，存在η∈D滿足η≤p

　　給定pEP.我們說DSP在p之下銅密。當且僅當DNPIp是PIr的稠密F集，其中PIp={q∈Pqs小.

　　義2.2.7假設P是偏序，我們稱FCP是偏序P上的濾，當且僅當() PP.

　　(2)若p∈F且p<y.則η∈F.

　　定義2.2.8假設P是模型M中的偏序，G是偏序P上的濾.我們稱P上

　　我們一般要求力迫法的原模型 M是可數的，是因為這樣的話，對任意M中的保序P只有可數個M中的P上的網密果。假文(D1<N是M中所有所有D.都是稠密的，所以p總能夠取到。令G={v∈P3i<n(ws小}.容易證明，G是濾，並且是M.脫殊濾。因此，可數模型中的任意偏序上:總存在脫嚴格來說，我們對於用來力迫的條件集，印偏序P沒有任何額外要求。但在力迫法的實際運用中，偏序集P椰滿足如下性質，

　　(22)

　　對任意p∈P，存在qsp.rSμ滿足q⊥r.

　　定理2.2.9 P∈M1是偏序。P滿足(223).當且儀當任意P上脫殊

　　因此，對於不滿足(22.3)的偏序，存在其上脫殊濾G∈M.又根據定理2.16.由此生成的脫殊模型MI(C]= M，將沒有意義。我們稱之為平凡力迫。他的世界，而這種在M中的人們看來可能的世界。在M“之外”的人們看來卻是一個現實的集合模型MI(G].我們定義M中人們用來指稱MI(C)中對象的專名(但名)的集合M“:

　　定義2.2.10 r是P名，當且僅當+是關系，且對任意(.D)∈T，π是隻名且ρ∈P.

　　注意，上述定義應理解為遞歸定義。而並非循環定義。

　　義22.11τ是P名， G:是脫殊濾.?

　　={t°1(Br∈()(，1E小

　　定義脫蛛擴張

　　MIG(={r°IreMr).

　　注意，r的定義也是遞歸的。

　　我們還可以用遞歸方式來定義基礎模型中集合的典范名。

　　定義2.2.12對任意工。定義*=(0.川vex，p∈P}.

　　顯然，對任意到，主是P名。通過歸納，容易證明，g=x因此M≤我們定義脫殊濾的典范名:

　　義2.2.18 G=(.川)1pe則)

　　注意， C其實不依賴於具體的脫殊濾G且C∈M. G是M中的人們用來指稱G的名字，但生活在M中的人並不知道G到底是什麽，事實上，的解杯(定2.1)，包括G自身:

　　WWw. cr-因而，在非平凡的情況下，我們期望NS M(q).

　　最後，我們定義力迫語言的語義。即條件與力迫訊言公式之間的力迫關系().

　　定義22川)()μ4η≤加當且僅當對任意(m，nen.集p啡η一η當且僅當ρlηSηHplηζη.

　　l在》之下稠密當集合{0≤p 30.n)∈n60≤rλ9θπ=(2)pHρ入ψ.當且僅當pHp且pe.

　　(3)plHψ.當且僅當對任意ηSp井非q14.

　　()pFarp()，當且僅當集合{veP3(r是P名(4())在ρ之下

　　上建定文中，()中的(n).()是基於辦刀所屬階層的遭歸定義.該部分，即條件與原子公式的力迫條件與原子公式的力迫關系。在M下是絕對的。而整個定義。即()-(v)，.應被視為基於公式複爾度的通的定義。注意(於和中的無外量調物，所以一力迫關系可理解為 MN中的人“所掌握的關於M(C]的一般知識的體系。即如果p力迫φ.那麽無論MI(G]到底是什麽(無論取什麽G)，若條件p真(w∈G)，則ρ也真(sM().這正是下述定理所表達的

　　定理2.2.15 M是ZFC的可數傳遞模型，P是N中偏序，G是P上(相對於M)的脫殊濾。則存在M的脫殊擴張MGI，給定公式.......(所有自由變元已列出)和....則

　　.....當且儀當和e G(n4......由此，可以進-步得到脫殊擴張基本定理。

　　定理2.2.16 (脫殊擴張基本定理) M是ZFC的可數傳通模型，P是M中偏序，G題P上(相對於M)的脫殊濾。則存在M的脫殊擴張MICI，滿足:(1) MIG]見ZFC的傳通模型。

　　(2) MS MI(G] lGe M(]:

　　(3) M[G]是滿足(1).(2)的最小極型。

　　品然，脫殊擴張sM(q可以被看作是s1加上一個脫殊迪a生成的集合論運算下的閉包，利用脫殊擴張基本定理，我們可以通過設計M中的偏序P來逐步迫近那個無法在M中存在的脫殊池G.使得生成的G見證了M(G]滿足我們所希望的性質。

　　脫殊複公式為: T =(2G/c^2)*(M/R)其中，T表示脫殊時間，G表示引力常數，c表示光速，M表示宇宙質量，R表示宇宙半徑。

　　脫殊複複宇宙

　　定義(複複宇宙公理):存在一個複宇宙，並且對任意複宇宙M，存在一個複宇宙N以及N中的一個ZFC模型N，使得在N看來，M是一個由可數的非良基的ZFC模型組成的複宇宙.

　　就像複宇宙公理對複宇宙的描繪，其中的集合論宇宙沒有哪個是特別的，對任何集合論宇宙都存在著“更好的”宇宙能看到前者的局限性，複複宇宙公理表達的是每個複宇宙也都不是特別的，並且總存在著“更發達的”複宇宙，在它們看來前者只是一個“玩具”複宇宙.

　　類似定理5.2.5，在一個不太強的假設之下，我們同樣可以證明複複宇宙公理也是一致的.

　　引理5.2.10令N是ZFC+Con(ZFC)的模型.則N中的複宇宙M?從

　　外面看仍然是一個複宇宙，即

　　111???

　　??M1=(m1，E1)N=(m?，E?)∈M???

　　是一個複宇宙.

　　證明(1)可數化公理，給定

　　111

　　??(m1，E1)∈M1.??

　　由N中的可數化公理，存在n?. F?∈N，有

　　??Ni(n0，F0)∈M0∧F(n0，F0)≠m0??

　　是可數的?.

　　由定義，(n1，F1)∈M1;由(5.2.1)，(n1，F1)=m??是可數的.由注5.2.2，我們說m1是n1中的一個可數集合.

　　類似地，我們也有(2)偽良基公理.

　　(3)可實現公理，給定

　　111、1

　　??(m1，E1)∈M1、a∈m1??

　　以及公式φ(v?，v?).由N中的可實現公理，存在n?∈N，使得

　　N=n°={x∈m3(m?，E?)=φ[x，a]}

　　∧(n?，E?)∈M?

　　??∧T(m0，E0)=T(n0，E0)=ZFC?T.??

　　所以，我們有

　　??(n1，E1)∈M1;??

　　並且對任意x∈m1?N，

　　??x∈n2?N=x∈n0??

　　( 5.2.2)

　　???N=r(m0，E0)=φ[x，a]???

　　???(m1，E1)=φ[x，a]??

　　可得?n1={x∈ m1(m1，E1)=φ[x，a]}?是模型m3中參數可定義的類:又由(

　　11　　

　　??5.2.1)，(m1，E1)=?(n?，E?)=ZFC?，??

　　因此我們說(m1，E1)認為(n3，E1)是一個ZFC模型.

　　(4)力迫擴張公理，給定模型?m3∈M1，?公式φ和參數a∈m3，φ(x，a)在m3中定義了一個偏序P1，由N中的力迫擴張公理，存在N中的n?.G°，使得

　　N=n?∈M?∧G?是P?上的m?脫殊濾?∧n?=m3[G?]

　　首先，我們有:?n1∈M1.

　　其次，我們希望?G1={x∈NNx∈G?}是P1上的m1脫殊濾.容易證明，G1是P1上的濾，現任給D?∈m1，使得?D1={x∈m1

　　m1=x∈D?}是P1的稠密子集.則m1=D?是P?上的稠密子集.因而?N=ρm?=D??是P?上的稠密子集?，由於N認為G°脫殊，故

　　??N=D1N=??

　　1???

　　??x∈m1m?≠x∈D?∩G?≠0.??

　　即存在

　　?

　　??x∈N，N=x∈G???

　　且NE

　　??[m0]=x∈D0?7??

　　(即m1=x∈D?).?因此?G'∩D1≠0.

　　最後，我們證明?n2=m2[G1].由定理2.2.16，我們只需證明m3?n3，G?∈n1，並且n3所有元素，都是從G?和m1中參數可定義的. m3?n2、G?∈n3，?由 N=m??n??及NFG°∈n??可得，現任給x∈n3，?即?N = x∈ n?.?由

　　???

　　??N=n?=m?[G?]，??

　　存在公式v及參數b∈m1使得

　　　　

　　??N=?n?=?y(ψ(y，b，G?)∧x=y)?.??

　　因而?n3=?！y(v(y，b，G?)∧x=y).

　　(5)嵌入回溯公理.給定模型

　　??m11∈M1，??

　　公式φ1.42和參數

　　??a，b∈m12，??

　　假設

　　??m1l??

　　認為:“j?(其中

　　??j11={x∈m11m11=φ1[x，a]}??

　　是從自身到模型

　　??m20={x∈??

　　??m11m11=φ2[x，b]}??

　　的∑o初等嵌入.”我們把引號中的公式(集)記為v[a，b].則

　　??m11=?[a，b]，??

　　由(5.2.1)，

　　??NFTm10=ψ[a，b]?1.??

　　再由注5.2.3，N認為j?確實是初等嵌入，由N中的回溯嵌入公理，存在N中

　　??m00??

　　以及參數a?，b?，使得

　　??N=m00∈M0∧a0，b0∈m00∧rm00=ψ[a0，b0]?1??

　　??∧j00(a0)=a∧j00(b0)=b∧m10={x∈m00m00+φ2[x，b0]}??

　　其中，j?是模型

　　??m0θ??

　　中由公式φ1和參數a?定義的.

　　我們有，

　　??m01∈M1;??

　　類似(5.2.2)，

　　??m11={x∈m01m01≡φ2[x，b0]}，??

　　是模型

　　??m01??

　　中參數定義的類:在

　　??m01??

　　看來，

　　??j01={x∈m01m01=φ1[x，a0]}??

　　是從自身到

　　??m12??

　　的初等嵌入，即

　　??m01=ψ[a0，b0];??

　　並且?j?(a?)=a. j?(b?)=b，從

　　而

　　??j01(j01)=j11.??

　　定理5.2.11(主定理)假設存在一個不可達基數k.令

　　??M=CCSMNR(ZFC+??

　　Con(ZFC))是

　　??VK??

　　中所有可數的可計算飽和的ZFC+Con(ZFC)模型組成的集合.?則

　　??M.M={CCSMN(ZFC)N∈M}.??

　　是由複宇宙組成的集合，且滿足複複宇宙公理.

　　證明首先，由於k是不可達基數，那麽Vn是ZFC的模型，由向下的L?wenheim-Skolem定理，存在一個ZFC的可數模型(ω. R).顯然，該模型也在

　　?

　　??V???

　　中，因此，V?也是ZFC+Con(ZFC)的模型，類似地，我們可以迭代任意有窮次，如

　　?

　　??V?=ZFC+Con(ZFC+Con(ZFC)).??

　　又由可計算飽和模型存在定理(參見[3，112])，∥非空.

　　對任意N∈，∥，N是ZFC+Con(ZFC)的模型.由定理

　　??5.2.5，CCSMN(ZFC)??

　　的複宇宙，由於可計算飽和模型都是非良基的，在N看來

　　??CCSMN(ZFC)??

　　中的模型都是非良基的，由引理5.2.10，從外面看，

　　??CCSMN(ZFC)??

　　也確實是複宇宙.

　　現在我們只需要證明存在一個. M. M中的一個複宇宙，而N是其中的一個元素.

　　對任意

　　??N∈M，Vn=ΓN=ZFC+Th(N)T.??

　　因而，

　　??TN=ZFC+{Con(ZFC+??

　　Γ)Γ是Th(N)的有窮子集}是一致的.由之前的分析，

　　??Vn=Con(TN).??

　　在V?中應用引理5.2.8，存在M∈. M，在M看來N是一個可數的可計算飽和的ZFC模型，即N是複宇宙

　　??CCSMM(ZFC)??

　　中的元素.

　　從複宇宙公理以及複複宇宙公理的一致性證明中，我們看到，ZFC、複宇宙公理、複複宇宙公理在一致性強度上形成一個遞增關系.雖然它們在一致性強度上的增加幅度很有限，事實上複複宇宙公理的一致性強度要低於存在一個不可達基數.但我們有理由期望，隨著我們對集合論模型間關系的進一步理解，隨著我們開發出新的構造集合論模型以及集合論複宇宙的方法，我們可以補強複宇宙公理和複複宇宙公理，更進一步，我們可以期望有任意n階甚至o階的複宇宙公理，它們也許能提供類似大基數公理那樣的一致性強度的層級結構.

　　事實上，無論是複宇宙公理還是複複宇宙公理所描繪的集合論宇宙或複宇宙之間的關系，與哥德爾的“之集合”(set of)運算的直觀都非常接近.複宇宙是

　　來合論宇宙的集合，而複複宇宙是複宇宙的集合.而且它們所要表達的，即所有的集合論宇宙都被“更好的”集合論宇宙看作是一個“玩具”模型，所有的複字宙都被“更發達的”複宇宙看作是一個“玩具”複宇宙，無非是在說這個宇宙，無論把它稱作集合的宇宙還是包含集合和集合的宇宙的宇宙或是別的名稱，是極大豐富的.這與ZFC中的存在性公理乃至大基數公理背後的直觀是一致的.如果，我們僅把ZFC所保證存在的對象稱作集合，那麽不可達基數可能就不是一個集合.不可達基數公理的意義在於斷定宇宙中存在不可達基數這樣一種對象.至於是否把它稱作集合，並不重要.從大基數的這個特質可以看出大基數公理的“高階”本質.某個大基數公理說“性質P°不足以描述宇宙之大”，這本身是描述宇宙之大的性質，我們稱作P1，而更大的大基數又說“P1不足以描述宇宙之大”.如此不斷擴展.

　　同理，複宇宙公理斷定宇宙中存在很多集合論宇宙這樣的對象.即認為現有的集合論公理對這個抽象世界的看法，只看到了其中的一個很小的部分，即某個集合論宇宙，把這些集合論宇宙當作不同於普通集合的二階對象還是就把它們看作普通集合，並不重要.重要的是，我們可以很自然地想象由一個集合論宇宙和一個普通集合組成的對集:一些滿足特定性質的集合論宇宙和普通集合.換句話說，我們可以將取子集、並集、冪集、投射等集合運算運用於集合論宇宙和普通集合之上，並且不產生矛盾;如同我們可以將這些運算運用於有窮集合和w之

　　上，從而構造出各種各樣的無窮集合，抑或運用於“可達的”集合和不可達基數之上從而構造出各種“不可達的”對象一樣.因此，各種集合論宇宙的存在並不妨礙我們假設我們在探索一個客觀的宇宙.正如傳統實在論對大基數公理的理解，對複宇宙的豐富性的描述也可以理解為是在陳述這個客觀宇宙的豐富性.

　　哥德爾在[19]的腳注18中談到一種可能的獲取新公理的途徑非常類似複宇宙公理或複複宇宙公理這種源於關於集合的“高階”概念的直觀的公理表達.

　　類似地，“集合的性質”(集合論的第二個主要術語)的概念給出關於它的公理的擴展，更進一步，“集合的性質的性質”的概念等等，也可以被引入，由此而來的這些新公理，他們後承中那些關於集合的有界域的命題(如連續統假設)[也應]包含在關於集合的公理中(至少就我們現在所知).

　　即使一些多宇宙觀的擁護者堅持認為存在一個絕對客觀的複宇宙，即關於集

　　言論宇宙有一個客觀的概念，或是認為存在一個絕對的複複宇宙甚至更高階的複宇宙.我們仍然可以期望，這個絕對的複宇宙並上其中的集合論宇宙中的集合組成的宇宙與傳統集合實在論所設想的那個絕對的集合論宇宙最終是一樣的，這種期望似乎是無矛盾的，事實上，如果

　　??M=CCSMV(ZFC)??

　　並且V=Con(ZFC).那麽M∪UM=V.因此，主張絕對客觀的複宇宙和主張絕對客觀的集合論宇宙並沒有本質的衝突。

　　總之，如果多宇宙觀的擁護者所強調的是那些集合論宇宙也擁有和普通集合一樣的實在性，那麽無論他們是否進一步主張更高階宇宙的實在性，他們的觀點和傳統集合實在論的觀點都是相容的.下一節中，我將論證，如果多宇宙觀強調的是我們對集合概念的理解可以是多種多樣的，不存在一種正確的理解，那麽這種觀點在數學實踐上與形式主義並無二致.

　　??