弱緊基數有兩個等價定義:

　　設κ是基數，κ>ω。

　　1.若κ階完全圖的任意邊二染色都有單色κ階子完全圖，則稱κ是弱緊基數。

　　2.若任意高為κ，每一層大小都小於κ的樹都有長為κ的分支，且κ是不可達基數，則稱κ是弱緊基數。

　　(若κ=ω，上面兩個性質俗稱RT22和KL)

　　下面我們證明，兩個性質等價。

　　由於我是個懶鬼，所以我只寫證明思路，一些細節驗證就不寫了。

　　1→2:

　　κ是強極限基數:若λ<κ，2^λ≥κ，將κ視為2^λ的子集。2^λ上有個字典序。易知這個字典序的無窮升鏈和無窮降鏈長度都至多為λ。

　　構造[κ]^2的二染色:若κ上的良序與2^λ上的字典序一致，就染紅，否則染藍。然後易知單色子完全圖最多只能有λ個頂點。

　　κ是正規基數:若κ不是正規基數，則κ有個更短的cofinal序列，把κ分成了若乾段。

　　構造[κ]^2的二染色:同一段裡染紅，不同段染藍。然後易知它沒有單色κ階子完全圖。

　　κ滿足樹性質:

　　設有棵待驗證的樹T。給T的每一層定義一個序(這裡其實不需要良序)。

　　定義κ上的染色:對a<b，如果a在b左邊，就染紅，如果a在b右邊，就染藍，如果a，b有上下關系，就隨便染。它有個單色κ階子圖，頂點集為S。不妨設是紅的。

　　現在從根出發，去找一個S裡的點。第一步有若乾種走法，其中有一個最大的走法，否則可以在第二層裡找到長為κ的遞增子列。

　　這個最大的走法上方的S裡的點是S的一個末端，因此有κ個點。可以繼續找上方的點。

　　在極限序數高度處，被拐到左邊的點數量小於κ，因此它上方仍然有κ個S裡的點。

　　由此可以得到一條長為κ的分支。

　　2→1:

　　設[κ]^2上有一個二染色。我們構造一個二叉樹，使得這棵樹有κ個頂點，它們與圖上的頂點一一對應。

　　我們從小到大依次把頂點放到樹上。設<α的頂點已經放好，我們放α。

　　從根出發一直往上走。設走到了頂點β。根據(β，α)的顏色決定往左走還是往右走。走到沒頂點的地方，就把α放上。

　　由於是依次構造，這棵樹的高度不超過κ。由於κ是強極限基數，小於κ的層上頂點數少於κ。由於κ是正規基數，這棵樹高恰好為κ。

　　我們取這棵樹的一條路徑，然後用與ramsey定理證明差不多的方法就可以得到單色子完全圖