1.不可達基數

　　可數，不可數，後繼，極限，正則，奇異。

　　不可達基數就是指不可數正規的強極限基數，如果是不可數正規的極限基數，則稱之為弱不可達基數。可數就是指小於等於阿列夫零的基數。反之不可數就是指大於阿列夫零的基數。後繼，就是指比它小的基數中有最大值，極限就是指比它小的基數中沒有最大值，強極限就是比它小的任意基數中，2的次方均小於它。正規就是到達它的最短長度等於本身，也就是若k是正則基數，則不存在小於k個小於k的集組之並的基數為k，或者說不存在小於k個嚴格遞增的序列，其極限為k。奇異就是到達它的最短長度小於本身。對於基數k，存在小於k的嚴格遞增的序列的極限為k，則k為奇異基數。正規和奇異基數引入了共尾度的概念，共尾度就是到達它的最短長度。後繼序數的共尾度是1。正則基數就是cf(k)=k，奇異基數就是cf(k)<k。

　　不可達基數k就是對任意小於k的基數，取冪集的基數仍然小於k並且由任意小於k個小於k的集組之並的基數仍然小於k。而對比弱不可達基數只要滿足<k的任意基數的後繼仍然<k就行。而具有以上相同性質的可數基數就是阿列夫零。

　　舉個例子:cf(1)=1，cf(任意有限數)=1，cf(ω)=ω，cf(ω_1)=ω_1(不存在長度是ω的序列，因為小於ω_1的基數是可數的，但可數個可數集之並(也就是它們的上確界)可數，不可能是ω_1)。cf(ω_ω)=ω(長度ω的序列取ω，ω_1，ω_2，ω_3，……)。

　　對於極限序數，有cf(a)=cf(ω_a)，所以對於不可達基數k，k=ω_k，但是，這樣的奇異不動點非常多。比如說a是任意的基數，然後設序數列ω_a，ω_(ω_a)，……設k是它們的確界，很顯然容易證明k=ω_k，但是很遺憾，這基數仍然還是奇異基數，並且它的共尾度是ω。

　　好了。以下基數的性質。

　　0，可數，正規，強極限。1，可數，正規，後繼。2，可數，非正規，後繼。ω，可數，正規，強極限。ω_1，不可數，正規，後繼。ω_2，不可數，正規，後繼。ω_ω，不可數，非正規，極限。ω_(ω+1)，不可數，正規，後繼。ω_(ω_1)，不可數，非正規，極限。阿列夫不動點，不可數，非正規，極限。

　　很顯然，用替代公理模式獲取的基數，三個條件都不能同時滿足，所以都不是不可達基數。不過，在大於ω的基數中，正規極限的基數則就是不可達基數。也可以說，從阿列夫零到不可達基數其概念意義上的距離，跟從0到阿列夫零是一樣的。

　　有了替代公理模式，你可以構造類似omega-fixed-point={x∈ωf(0)=ω，f(x)=ω_f(x-1)}的集合，通過更大的f就能獲取更大的基數。但是，很顯然，由替代公理所迭代獲取出來的基數，全部都是奇異基數，其x∈的那個數就是它的共尾度或者是共尾度比這個數還小，哪怕再大，均不符合cf(k)=k的條件。因此不可能抵達不可達基數。

　　不可達基數本身也是阿列夫數，同時也都是不可達的阿列夫不動點，貝斯不動點，極限基數(因為對於後繼基數阿列夫(a+1)<=2^阿列夫a，不符合強極限的定義)。同時不存在一個{x∈(<k)f(x)<k}的集合，使得其上確界為k。

　　還可以更抽象的理解不可達基數，假如連續統假設成立。則2^阿列夫零=阿列夫一，2^阿列夫一=阿列夫二……你可以這樣迭代下去，你能得到阿列夫(阿列夫(阿列夫一))，阿列夫(阿列夫(阿列夫(阿列夫……)))，你所想象到的迭代，無論是多麽的變態，你都不可能迭代出不可達基數。因為不可達基數是正則基數，不可能從下至上抵達它。舉個例子，有限的數，它們經過任意有限次迭代，都不可能到達無窮大，只能用∞這個符號表示，同樣，∞(指小基數)，哪怕它們經過任意∞次迭代，也不可能到達不可達基數。

　　你取到k之後，那麽k和2^k都是正則的大基數，繼續對k替代公理模式以及對k取冪集，仍然不可達的就是第二個不可達基數。

　　2.馬洛基數

　　一個無窮基數κ是馬洛基數(Mahlo cardinal)當且僅當κ是一個不可達基數並且

　　是

　　正

　　則

　　基

　　數

　　{λ<κλ是正則基數}是κ上的平穩集[1]。如果κ是馬洛基數，則

　　是

　　不

　　可

　　達

　　基

　　數

　　{λ<κλ是不可達基數}是κ上的平穩集，因此κ是第κ個不可達基數。

　　為了得到以上結論，我們來證明如果κ是任何不可達基數，則

　　是

　　強

　　極

　　限

　　基

　　數

　　C:={λ<κλ是強極限基數}是κ上的無界閉集。先來證明閉性:

　　假設基數λ<κ是C的極限點，即λ=sup(C∩λ)，則對任何μ<λ有強極限基數γ∈C∩λ使得μ<γ，從而 2μ<γ<λ，從而λ是一個強極限基數，故λ∈C，從而 C是閉的。

　　無界性:任取序數α<κ，因為κ的強極限性質，可以做以下基數序列?γn<κn∈ω?:

　　α<γ0，γ1=2γ0，?，γn+1=2γn，?

　　並取γ=supn∈ωγn，因為κ>ω是正則的，所以γ<κ而且顯然α<γ。可以證明γ是強極限的:任取μ<γ，則按照定義存在 n∈ω使得μ<γn，從而 2μ≤2γn=γn+1<γ，於是γ∈C。這樣 C就是無界的。

　　現假設κ是馬洛基數，則κ是不可達基數，而且

　　是

　　正

　　則

　　的

　　X:={λ<κλ是正則的}是κ上的平穩集。按照定義， X∩C也將是κ上的平穩集，而

　　為

　　不

　　可

　　達

　　基

　　數

　　X∩C={λ<κλ為不可達基數}。因為κ上的平穩集總是在κ中無界，故 X∩C的基數也將是κ，也即κ是第κ個不可達基數。

　　為了進一步考察馬洛基數，我們再來證明以下兩個命題:

　　命題1:如果

　　是

　　第

　　個

　　不

　　可

　　達

　　基

　　數

　　κ=min{λλ是第λ個不可達基數}，則κ不是馬洛基數。

　　命題2:如果κ是馬洛基數，則集合

　　是

　　第

　　個

　　不

　　可

　　達

　　基

　　數

　　{λ<κλ是第λ個不可達基數}在κ中無界。

　　先證明命題1:按照定義，任何小於κ的不可達基數γ都是第α<γ個不可達基數。現在定義

　　是

　　不

　　可

　　達

　　基

　　數

　　X:={γ<κγ是不可達基數}上的函數 f:X→κ使得 f(γ)=α，其中α<γ，且γ是第α個不可達基數。從而 f是 X上的退縮函數。如果κ是馬洛基數，按照上一個證明，X將成為κ上的平穩集。按照福道爾定理，將存在一個κ上的平穩集 S?X和某個β使得任何γ∈S有 f(γ)=β，即任何γ∈S是第β個不可達基數。但我們知道第β個不可達基數只有一個，這與 S是平穩集矛盾。

　　命題2:假設

　　是

　　第

　　λ

　　個

　　不

　　可

　　達

　　基

　　數

　　T:={λ<κλ是第λ個不可達基數}在κ中有界，即 supT<κ。令α=supT，則集合 C={β<κβ>α}是κ上的無界閉集。因為κ是馬洛基數，所以

　　是

　　不

　　可

　　達

　　基

　　數

　　X={λ<κλ是不可達基數}是κ上的平穩集，按定義 X∩C也是κ上的平穩集。而 X∩C是κ中所有大於α的不可達基數的集合。而且每個不可達基數γ∈X∩C，γ不可能是第γ個不可達基數，從而γ隻可能是第ξ<γ個不可達基數。重複命題1的證明，在平穩集 X∩C上建立一個退縮函數，利用福道爾定理便可引出矛盾。

　　3不可描述基數

　　不可描述基數是對 V的不可描述性(表現為反射原理)的深入刻畫，即將 V具有的不可描述性移植到作為集合的 Vκ上。對於作為大全的 V我們不是很方便談論，但 Vκ可以。稱κ(實際也是 Vκ)是Σnm-可描述的，在於存在一則Σnm-命題φ，使得φ僅在 Vκ中為真，即不存在α<κ，使得φ也會在 Vα中為真。換言之，滿足φ這一描述的僅為 Vκ，φ是 Vκ獨有的描述，故構成對 Vκ的本質描述。反之，稱κ是Σnm-不可描述的，在於對任意Σnm-命題φ，Vκ滿足φ就意味著存在α<κ，Vα也滿足φ，所以僅僅是滿足φ並不意味著是在描述 Vκ。而“κ是Σnm-不可描述的”或“κ是Πnm-不可描述的”是則Σn+1m-命題或Πn+1m-命題，你的想法是對的，只是“κ是一階不可描述”這點需要用二階語句來描述，這樣的二階命題我們可以寫出來，但一階不行，並且如果存在這樣的一階命題，那麽就如你所想的那樣必然導致矛盾，這就意味著該語言是內在不一致的。所以，“任意命題都無法描述”不會是一個自洽的語言可以寫出來的句子。

　　4.弱緊致基數

　　對於一階邏輯語言的擴張 Lλμ，即對任意α<λ，允許語句的α次合取?ξ<α?α和或取?ξ<α?α仍作為一個語句;以及對任意β<μ，允許語句中出現β次存在量詞?ξ<βxξ和全稱量詞?ξ<βxξ;若 Lκκ的字母表僅含有κ個非邏輯符號，並且 Lκκ的子集(語句集) T存在模型(一致)當且僅當 T的每個基數<κ的子集Σ都存在模型(一致)，則稱κ是弱緊致基數。

　　對於不可數的弱緊致基數κ可以證明:

　　κ是正則基數

　　假設κ是奇異基數，取κ的無界子集 X有X<κ，在字母表中添加常元符號{cα:α<κ}∪{c}

　　定義語句集 T={c≠cα:α<κ}∪{?λ∈X?α<λc=cα}

　　其中?λ∈X?α<λc=cα是由X個形如?α<λc=cα的語句或取而成的，由於X<κ，這是一個合法語句但卻遍歷了每個 cα，或取命題的成立只需要其中一項為真即可，對於 T基數<κ的含該語句的子集Σ，其中都只會含有Σ個 c≠cα，由 X在κ中無界，必然存在Σ<γ，?α<γc=cα就可為真與其余語句一致，但必與 T的其余語句矛盾。

　　2.κ是極限基數

　　假設κ是後繼基數，則存在λ<κ，使得 2λ≥κ。

　　在字母表中添加常元符號{cα:α<λ}∪{dα0:α<λ}∪{dα1:α<λ}

　　並定義語句集

　　T={?α<λ[(cα=dα0∨cα=dα0)∧dα0≠dα1]}∪{?f:f∈2λ}

　　其中?α<λ[(cα=dα0∨cα=dα0)∧dα0≠dα1]可以直觀理解為定義了一個 2λ中的 01序列 f?，?f則是使用 f定義的形如?α<λcα≠dαf(α)的語句，其為真就意味著必有一項 cα不同於 f在α處的得值，即 f?≠f。顯然， T是不一致的。但對於 T的基數<κ的子集Σ，由於Σ<κ<T，從而總能存在 g∈2λ但?g?Σ，令 f?=g即可滿足。

　　3.κ是巨大馬洛基數

　　已知κ是不可達基數，故Vκ=κ，對任一 U?Vκ，擴充語言 Lκκu，其中含有謂詞符號 u(x)被解釋為 U，再在其字母表中添加常元符號 c，定義語句集 T={φ∈Lκκu:(Vκ，∈，U)?φ}∪{?α(x)∧x<c:α<κ}，其中?α(x)是對序數α的定義，即對任意α<κ均有(Vκ，∈)??α(α)。由於 T基數<κ的子集Σ都以(Vκ，∈，U)為模型，故 T也存在模型(M，E，U?)。由於(Vκ，∈)???n<ωxn(xn+1∈xn)， E是 M上的良基關系，由坍塌定理可得(M，∈，U?)又由於 Vκ的每個元素均可定義，{φ∈Lκκu:(Vκ，∈，U)?φ}作為一個完備理論被(M，E，U?)滿足，就存在(Vκ，∈，U)到(M，∈，U?)的初等嵌入使得(Vκ，∈，U)是(M，∈，U?)的初等子模型。

　　設 U為無界閉集，由於 U?U?，根據定義 sup(U∩κ)=κ可得κ∈U?，而(M，∈，U?)?u(κ)蘊含(M，∈，U?)??x?(x)∧u(x)(Vκ，∈，U)??x?(x)∧u(x)，其中?(x)為一可由某一(M，E，U?)見證的κ所具有的性質。

　　4.κ是Π11-不可描述基數

　　由 3.可知對任一 U?Vκ，均存在初等嵌入使得(Vκ，∈，U)是(M，∈，U?)的初等子模型，擴充語言 Lκκu中的語句等價於以 U為參數的語句，而 Vκ上的Π11語句等價於 Vκ+1上的Π10語句，形如?X∈Vκ+1φ(X)Vκ，其中φ(X)Vκ是量詞轄域為 Vκ的一階語句，其成立取決於 Vκ和 U中是否存在這樣或那樣的元素，由於 Vκ?M，Vκ=VκM，，φ(X)Vκ(M，∈，U?)?φ(X)Vκ。又由於 Vκ+1M?Vκ+1，假設?X∈Vκ+1φ(X)Vκ但(M，∈，U?)???X∈Vκ+1φ(X)Vκ即(M，∈，U?)??X∈Vκ+1?φ(X)Vκ就與假設矛盾。故對於 Vκ上的Π11語句φφM，並且若(Vκ，∈，U)?φ則(M，∈，U?)滿足存在α，(Vα，∈，Vα∩U?)?φ，(Vκ，∈，U)就也滿足存在α，(Vα，∈，Vα∩U?)?φ。

　　5.可測基數

　　問題:一個不可數基數κ是可測基數(measurable cardinal)當且僅當κ上存在κ-完全的非主超濾。證明任何可測基數都是不可達基數( cardinal)，即，都是正則且強極限的。

　　首先證明正則性。若κ是奇異的，即 cf(κ)<κ。則可以取一個κ的遞增的共尾序列?αγ<κγ<cf(κ)?，使

　　supγ<cf(κ)αγ=?γ<cf(κ)αγ=κ

　　取κ上的一個κ-完全的非主超濾 U，則 U是均勻超濾，從而每個αγ?U，即κ?αγ∈U，於是:

　　U??γ<cf(κ)(κ?αγ)=κ??γ<cf(κ)αγ=?

　　這與U的濾子的定義產生了矛盾。

　　再來證明強極限。也即證明任何λ<κ，有 2λ<κ。現用反證法，反設存在某個λ<κ使得 2λ≥κ。那麽可以取 2λ={ff:λ→2}的一個子集 S使得S=κ。並且按題意可以取 S上的一個κ-完全的非主超濾 U。現在對於每個α<λ，如果 Oα:={f∈Sf(α)=0}∈U，則令 Xα=Oα，εα=0;否則，我們有 Iα:={f∈Sf(α)=1}∈U，這時我們令 Xα=Iα，且εα=1。現在，我們定義了U上的一個長度為λ的序列?Xα∈Uα<λ?，因為 U是κ-完全的，所以?α<λXα∈U，但是，我們可以證明?α<λXα中最多只有一個元素，因為任何 f∈?α<λXα，都有 f(α)=εα，?α<λ。這樣?α<λXα?U，這就引出了一對矛盾。

　　後話:看到有人不太理解強極限的證明。其實我們的目的很簡單，就是希望對每個α<λ， 定義一個集合 Xα∈U，和一個數εα∈{0，1}。而它們的值究竟什麽，則取決於{f∈Sf(α)=0}和{f∈Sf(α)=1}哪一個屬於 U，如果前者屬於 U，則定義 Xα={f∈Sf(α)=0}，且εα=0;如果後者屬於 U，則定義 Xα={f∈Sf(α)=1}，且εα=1。因為 U是超濾，可知這種定義是合理的。

　　6.強可展開基數

　　形式上，基數κ是λ不可折疊的，當且僅當對於ZFC負冪集的每個基數κ的傳遞模型 M，使得κ在M中並且M包含其所有長度小於κ的序列，有一個將M的非平凡初等嵌入 j到傳遞模型中，其中 j的臨界點為κ且j(κ)≥λ。

　　一個基數是可展開的當且僅當它對於所有序數λ都是λ可展開的。

　　基數κ是強λ不可折疊的，當且僅當對於ZFC負冪集的每個基數κ的傳遞模型 M使得κ在M中並且M包含其所有長度小於κ的序列，有一個非-將M的j簡單基本嵌入到傳遞模型“N”中，其中j的臨界點為κ，j(κ)≥λ，並且V(λ)是N的子集。不失一般性，我們也可以要求N包含其所有長度為λ的序列。

　　7.大基數伊卡洛斯

　　存在一個L(V_λ+1，lcuras)非平凡基本嵌入，其臨界點低於λ，同時伊卡洛斯存在於V_λ+2-L(V_λ+1)