假設\kappa 是最小的不可達基數，那麽\left\{\alpha\lt\kappa:cf\left(\alpha \right)=\alpha \right\}不是\kappa 的平穩子集，因為\left\{\alpha\lt\kappa:cf\left(\alpha \right)\lt\alpha \right\}作為\kappa 的無界閉子集與其相交為空。

　　若\kappa 是第\alpha\lt\kappa 個不可達基數，\left\{\alpha\lt\kappa:cf\left(\alpha \right)=\alpha \right\}依舊不是\kappa 的平穩子集，取\kappa 中最大的不可達基數\lambda ，\left\{\alpha\lt\kappa:\lambda\lt\alpha \right\}作為\kappa 的無界閉子集與其相交為空。

　　因此，倘若\left\{\alpha\lt\kappa:cf\left(\alpha \right)=\alpha \right\}是\kappa 的平穩子集，那麽\kappa 會是第\kappa 個不可達基數。

　　假設 V\models\mbox{ZFC}，對任意公式 Q_{1}x_{1}，…，Q_{m}x_{m}\varphi_{i}\left( x_{m+1}，…，x_{n}\right)，定義函數 f_{\varphi_{i}}:V^{n}\rightarrow V

　　若 Q_{1}x_{1}為\exists x_{1}，並且 V\models Q_{1}x_{1}，…，Q_{m}x_{m}\varphi_{i}\left( x_{m+1}，…，x_{n}\right)，則 f_{\varphi_{i}}\left( x_{m+1}，…，x_{n}\right)為秩最小的使得\exists x\in V_{\alpha} Q_{2}x_{2}，…，Q_{m}x_{m}\varphi_{i}\left( x_{m+1}，…，x_{n}\right)成立的 V_{\alpha}，倘若這樣的 x 不存在，則為 0

　　若 Q_{1}x_{1}為\forall x_{1}，並且 V\models Q_{1}x_{1}，…，Q_{m}x_{m}\varphi_{i}\left( x_{m+1}，…，x_{n}\right)，則 f_{\varphi_{i}}\left( x_{m+1}，…，x_{n}\right)為秩最小的使得\exists x\in V_{\alpha}\neg Q_{2}x_{2}，…，Q_{m}x_{m}\varphi_{i}\left( x_{m+1}，…，x_{n}\right)成立的 V_{\alpha}，倘若這樣的 x 不存在，則為 0

　　令 F=\left\{\varphi_{n}:n\in\omega \right\}是對所有公式的枚舉，定義

　　f_{F}\left( x_{1}，…，x_{n}\right)=\bigcup \left\{ f_{\varphi_{n}}\left( x_{1}，

…，x_{n}\right):\varphi_{n}\in F\right\}，即為某個 V_{\gamma}，其包含了最底限的使得形如\exists x\varphi\left( x，…，x_{n}\right)類命題成立的 x ，若不包含使得形如\exists x\neg\varphi\left( x，…，x_{n}\right)類命題成立的 x ，即意味著\neg\exists x\neg\varphi\left( x，…，x_{n}\right)\leftrightarrow\forall x\varphi\left( x，…，x_{n}\right)成立。既然\forall x\varphi\left( x，…，x_{n}\right)在 V 中成立自然也不可能存在這樣的 x 。　　任取 V_{\gamma}遞歸定義:

　　V_{\gamma}^{0}=V_{\gamma};

　　V_{\gamma}^{n+1}=V_{\gamma}^{n}\cup\bigcup\left\{ f_{F}\left( x_{1}，…，x_{n}\right):x_{1}，…，x_{n}\in V_{\gamma}^{n}\right\};

　　V_{\lambda}=\bigcup_{n\in\omega} V_{\gamma}^{n}

　　則 V\models \varphi\left( x_{1}，…，x_{n}\right)\leftrightarrow V_{\lambda}\models \varphi\left( x_{1}，…，x_{n}\right)，若 V 中不存在世界基數，則 V= V_{\lambda}，\lambda 是最小的世界基數(world cardinal)，亦即最小的使得 V_{\lambda}\models ZFC 的\lambda

　　若\kappa 為不可達基數，同樣有 V_{\kappa}\models\mbox{ZFC}。對任意形如\exists x{\varphi_{i}}\left( x，x_{1}，…，x_{n}\right)的公式，定義函數 g_{\varphi_{i}}:{\kappa}\rightarrow {\kappa}為對任意 x_{1}，…，x_{n}\in V_{\alpha}，\exists x\in V_{g_{\varphi_{i}}\left(\alpha \right)}{\varphi_{i}}\left( x，x_{1}，…，x_{n}\right)^{V_{\kappa}}， V_{g_{\varphi_{n}}\left(\alpha \right)}即秩最小的\left\{ x :{\varphi_{i}}\left( x，x_{1}，…，x_{n}\right)^{V_{\kappa}}\right\}\cap{V_{\lambda}}\ne\ 的\lambda 。而對任意形如\exists x{\varphi_{i}}\left( x\right)的公式，定義函數 g_{\varphi_{i}}:{\kappa}\rightarrow {\kappa}，V_{g_{\varphi_{i}}\left(\alpha \right)}即秩最小的包含 V_{\alpha}且\left\{ x :{\varphi_{i}}\left( x \right)^{V_{\kappa}}\right\}\cap{V_{\lambda}}\ne\ 的\lambda 。

　　令 F=\left\{\varphi_{i}:i\in\omega \right\}是對所有公式的枚舉，定義 g_{F}\left(\alpha\right)=\bigcup \left\{ g_{\varphi_{i}}\left(\alpha\right):\varphi_{i}\in F\right\}，則每一個滿足 g_{F}\left(\alpha \right)=\alpha 的\alpha 都是世界基數。

　　定義\Psi\left( 0，S \right)=\Psi\left(S \right)， S 為任意長序數串。如\Psi\left( 0，\alpha \right)=\Psi\left(\alpha \right)，\Psi\left( 0，\alpha，\beta \right)=\Psi\left(\alpha，\beta \right)，特別地，\Psi\left(\alpha \right)=g_{F}\left(\alpha \right)

　　\Psi(S，\alpha，Z，\beta)=\min\{\gamma\forall\delta