比利時物理學家普拉托(Joseph ， 1801-1883)是一個醉心於視覺研究和吹泡泡的人。普拉托是最早認識到視覺暫留的人，其晚年失去了視覺，據說仍指導侄子吹泡泡繼續他的研究。他1873年出版的長達450頁的《僅置於分子力之下的液體之靜力學》一書是關於泡泡研究的經典。作為一個科學家，面對泡沫這種人所共知的存在，普拉托看出來了許多很不直觀的內容。普拉托其人其事，特別適於用來闡述科學家(依人之本性而非職業而言)同非科學家之間的區別。

　　關於泡泡，一個孤立的懸浮氣泡，不考慮空氣流動或者重力、溫度場對液體分布的影響，是球形的。如果許多泡泡漂浮在空中，很可能會發生兩個或多個氣泡相遇而合並的情形。那麽，兩個氣泡相遇其穩定構型是什麽樣的呢?三個呢?或者籠統地說，氣泡團簇的構型會是什麽樣的呢?一般人很容易想到，若兩個氣泡是完全等同的，則它們相遇後的構型必定是對稱的，因此它們的邊界必然是一個平面，兩個泡泡各自的形狀關於這個平面成鏡面對稱。然而，我們知道，一個球形氣泡其內外壓差為△p = 2γ/R。因為飄在空中的氣泡，其外部都是一個大氣壓，顯然氣泡越小，其內部壓力越大。若一大一小兩個氣泡相遇，小的氣泡會擠壓大的氣泡，進入大氣泡的內部(可能許多人此時的反應是:是嗎?我沒注意啊)以達到一個平衡的構型，為此氣泡內的體積和壓力都要調整。

　　普拉托經過多年研究，得到了關於氣泡及其合並構型的許多重要結論，可總結為普拉托定理如下:

　　1.氣泡由完整光滑的曲面(entire smooth surfaces)拚成;

　　2.氣泡的每一片膜都是常平均曲率曲面(mean curvature is everywhere constant on any point on the same piece of a film);

　　3.泡泡表面的邊界一定是由三表面相接構成的一條曲線(稱作普拉托邊界)，其表面交角為120°，即夾角為 (?1/2)= 120°;

　　4.普拉托邊界之間相交一定是由四條邊界相交構成一個點，四條邊界線兩兩之間的交角都相同，等於正四面體的中心同各頂點連線所成的角，即夾角為(?1/3)= 109.47°。

　　這四條普拉托定理，除了第一條以外，都不是那麽直觀，意思是不是尋常人通過觀察能總結出來的。普拉托定理第1、2兩條談論的是氣泡(團簇)的光滑部分，第3、4兩條談論的是結構中存在的奇性()問題。普拉托定理的第3、4兩條的意思是泡泡有兩種相遇的模式，或者說氣泡團簇的奇性有兩類:要麽是三個表面沿一條曲線相遇;要麽是六個表面相遇於一點。最重要的是，相遇處相鄰面之間的夾角是相等的，分別為120°或者為109.47°。至於證明，我們會發現，這要求很高深的學問，包括微分幾何和幾何測度論等即便是對數學專業的人也不算容易的學問。不過，泡泡多有趣啊，為了理解泡泡，為了幫助孩子理解泡泡，學點微分幾何不是摟草打兔子的事兒嗎?

　　兩個全等氣泡合並時，其界面是平面，而大小不等的兩個氣泡合並時，其界面是個小氣泡突入大氣泡一方的球帽

　　普拉托定理證明的關鍵，

是要證明有第3、4兩條給出的相遇模式，還要證明此構型相對於變形是穩定的，且在此構型下面積最小。可以想見，這個問題的證明不能一蹴而就，它是一場智慧的接力。先看普拉托定理的第一條，氣泡由完整光滑的曲面構成。對於一個自支持(free-standing)的氣泡，即懸浮在空中的、單個的氣泡，觀察告訴我們它是球形的，此時結構不存在奇性，應該屬於最簡單的情形。然而，關於這個結論的證明，也有許多可訾議處。一般證明是純數學角度的，論證給定面積的曲面，球麵包裹的體積最大。這個證明據信在亞裡士多德的《論天》一書裡就有。從物理的觀點來看，限定一個氣泡的條件(忽略重力、溫度等因素)是泡內氣體的量(而非體積)和外部的環境氣壓。氣體的流動性使得氣壓各向同性，它注定了氣泡膜的構型具有最大的對稱性，即球對稱性。壓力平衡的條件是硬性的，氣泡膜的厚度(這是物理問題)會適度調整來達到平衡條件，因此也就調節了氣泡內的體積。以氣泡內體積恆定的數學證明與物理現實是有出入的。　　普拉多問題證明的難點，是不容易做到 without a strong initial on the smoothness and symmetry，即很難做到一開始不對構型的光滑性與對稱性做一些強的假設。在數學上，可以把曲面理解為從平面區域(2D domain)向三維空間的映射，變分法是求極值(比如要求面積最小)的方法。但是這個方法有很多弊端，其最大的問題就是缺乏緊致性。如果預先假定肥皂泡是緊致曲面的話，那麽根據曲面微分幾何中的阿列克桑德羅夫定理，這曲面必定是一個標準球面。然而，氣泡團簇構型是一個含有奇性的結構，比如兩氣泡相遇後造成的界線，此處曲面發生彎折。可以想見，關於氣泡問題證明的首要任務是分析奇性的結構(structure of )，並予以分類。此問題已研究過一個多世紀，相關成果也非得自一篇論文。

　　所幸的是，一個真正科學的問題不會只有一個側面，它可能會以不同的面目遭遇不同的科學家。1964年， Heppes 證明了球面上測地線以120°夾角相交(這和普拉托定理的第3、4條有關)的構型只有10種(圖5)可能性。接著，女數學家泰勒(Jean E. Taylor， 1944-)證明了前三種以外的構型面對變形都是不穩定的，而前三種對應的就是光滑表面和普拉托定理的第3、4條涉及的奇性種類(types of )。泰勒1976年順著切錐(tangent cone)、關於等周不等式到奇性結構的路子，構造了一個對普拉多問題的證明。如大家可能已經感知的，這個證明是冗長的、且是有些限定的。這個證明利用了 rectifiable current (可求長的流)，測度等幾何測度論的概念。大致說來，這要用到幾何測度論的學問，可分為三部分:切錐分析，一個微分形式的等周問題不等式的證明，然後從此不等式得到微分結構。其中第一部分證明三維空間中面積最小的錐是Y (半圓盤及其繞直徑為軸轉120°和240°之構型的交集)，其中C是對中心在原點、頂角包括點(3， 0， 0)和之正四面體之一側所張的中心錐)。從這裡大家應能看到普拉托定理的影子了。

　　泡泡問題展示了一個非常簡單的原理，即物理意義上的表面能最小或者數學意義上的面積最小，然而問題卻未必那麽簡單。從物理的角度來看，哪怕完全不考慮重力、溫度等因素的影響，泡泡問題的外部約束也是外部壓力恆定，而非數學證明擅長的給定邊界的最小曲面問題。對於單個泡泡來說，其構型為球形，此時對稱性最大。對稱性最大意味著某些物理量取極值。筆者2018年才想到並堅信了這一點(比如筆者堅信金剛石的極大楊氏模量就與其化學的和電子結構的對稱性有關)。以筆者有限的見識，從此角度出發做物理的范式，似乎未見過。

　　泡泡問題的複雜性源於幾何構型變化的本質。肥皂泡沫這種結構是那種幾乎處處規則( almost everywhere)的結構。那規則的曲面部分可看作是從二維圓盤到三維空間的一個光滑的映射好了，但是，那些不規則的地方，比如兩個泡泡的(一維)界線處，就需要特別的描述，比如引入特殊的測度。關於泡泡團簇構型的證明，難就難在這裡。為此，數學家不得不準備一門全新的學問。證明一個問題，可能首先需要在別的層次、用別樣的眼光看這個問題。