狄利克雷對勒讓德說:“我發現了一種在實數范圍內，值域不連續的函數。”

　　狄利克雷寫出這個狄利克雷函數，勒讓德看到這個函數有兩個項求極限，一個是πx前的階乘k！求極限，一個是k！πx上的2j中的j求極限。K求極限是在余弦函數之外的。

　　勒讓德說:“這個函數處處不連續，那是不是都畫不出來?”

　　狄利克雷說:“沒錯這個函數圖像畫不出，但是客觀存在，還是個偶函數，值域是從0到1。”

　　勒讓德說:“我看這樣的函數恐怕連周期都沒有?”

　　狄利克雷說:“以任意正有理數為其周期，無最小正周期。”

　　勒讓德說:“我終於知道了，這個函數處處不連續，所以處處不可求導，所以也處處不可以積分，與x所包的面積大小也是一個謎。”

　　狄利克雷說:“沒錯，以現有的微積分只是，沒辦法積分。”

　　勒讓德說:“但是目測也可以得到大小。”

　　狄利克雷說:“那只是知道個大概，沒辦法對此精確計算的。”

　　後來一個叫勒貝格的人改變了原有的黎曼積分方式，從豎形積分變成橫向積分，解決了這一問題。在單位區間[0，1]上勒貝格可積，且勒貝格積分值為0(且任意區間以及R上甚至任何R的可測子集上(區間不論開閉和是否有限)上的勒貝格積分值為0 )