勒讓德教授貝塞爾二階微分方程相關知識。

　　貝塞爾說:“你這個多項式是從哪裡來的?”

　　勒讓德說:“從勒讓德方程推導出來的。”

　　貝塞爾說:“勒讓德方程是從哪裡來的?”

　　勒讓德說:“從連帶勒讓德方程得到的，這個方程在m值為0，也就是在軸對稱情況下得到的。在球函數方程分離變量時，可出現連帶勒讓德方程。”

　　貝塞爾說:“連帶勒讓德方程又是什麽東西?”

　　勒讓德說:“連帶勒讓德方程是一個二階常微分方程。”

　　貝塞爾說:“二階常微分方程是這個樣子嗎?”

　　貝塞爾說著，寫出了方程:y''+py'+qy=0。

　　勒讓德說:“這是齊次的的二階常系數線性微分方程。”

　　勒讓德寫了方程y''+py'+qy=f(x)，這個是二階常系數線性微分方程，對貝塞爾說:“還必須是其中 y1和y2的比值為常數才可以，如果不是常數，就是非齊次的。”

　　貝塞爾說:“你是研究這些方程解法的吧?一般有哪些方法?”

　　勒讓德說:“有待定系數法、多項式法、常數變易法和微分算子法等。”

　　貝塞爾說:“二階常系數線性微分方程如何解呢?”

　　勒讓德說:“先寫出特征方程。”

　　勒讓德寫出了y''+py'+qy=0的特征方程r^2+pr+q=0。

　　然後寫出特征方程的解後，然後寫出三種條件下的通解:

　　1.兩個不相等的實根:y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)

　　2.兩根相等的實根:y=(C1+C2x)e^(r1x)

　　3.一對共軛複根:r1=α+iβ，r2=α-iβ:y=e^(αx)*(βx+C2sinβx)

　　貝塞爾說:“那如何得到非齊次的解?”

　　勒讓德說:“通解等於非齊次方程特解加齊次方程通解。”

　　貝塞爾說:“這個有什麽用嗎?”

　　勒讓德說:“在工程技術及力學和物理學中都有十分廣泛的應用。”