開普勒說:“我發現了第二定律，但我想知道橢圓的弧長如何更方便的去求。”

　　1718年左右，數學家找到了一種特殊的積分方程，有k和t這樣的參數。

　　“雙扭線的弧長，單擺的周期、彈性細棒彎曲也出現了這樣的積分方程。統稱為橢圓積分。”

　　1751年，意大利數學家法納諾:“我發現雙扭線積分倍弧長公式。”

　　歐拉說:“我得到了橢圓積分加法定理。”

　　勒讓德說:“我開始繼續研究橢圓積分。可以轉化成三種類型。得到基本性質，引進全橢圓積分。”

　　高斯說:“我研究的是一類特殊橢圓函數。其實是雙扭線的那一種。同時與三角函數進行類比。其中雙扭線的一些性質，對橢圓曲線可以有指導作用。”

　　1828年，阿貝爾開始了他曾經研究過的問題，橢圓形長度和面積的問題。

　　橢圓形的長度和面積是一個難題，數學大師勒讓德對這個難題研究多年，但沒有明晰的答案。

　　橢圓形長度有三個帶積分方程的解法，每個解法都有優點，也有自己的毛病，所以阿貝爾想找一個更加合適的去解決這個問題。

　　勒讓德知道表示橢圓長度的方程不能用初等函數的式子表示，但是還是取了近似。

　　這種近似讓阿貝爾看出了這個近似公式的反函數是一種簡單一些的三角函數公式，而三角函數的加減乘除運算時很簡單的，勒讓德為什麽沒有用這個思路，阿貝爾不清楚，但是阿貝爾認為，使用這個思路會很方便的對橢圓長度線進行輕松的加減乘除運算。

　　他把橢圓函數定義域展開到了複數域，發現了橢圓函數的雙周期性。

　　果然，阿貝爾在這方面有突破的進展，他把論文寄給了當地有影響力的數學大師柯西，柯西曾經回復過他，說論文寫得很不錯。

　　但是柯西工作太過於忙碌，竟然忘記了阿貝爾的工作。

　　而同樣是數學大師的傅裡葉也想跟柯西討論阿貝爾的橢圓曲線的問題，柯西才想起來，但是堆滿推寫公式紙張的屋子裡，柯西翻牆搗櫃的找了很久，也沒有找到。

　　勒讓德也看到了阿貝爾的公式，大為興奮，認為自己遇到了天才，要求和很多法國數學家想挪威政府聯名上書，給阿貝爾一個科學研究的職位，而且也給德國柏林大學也聯合申請了一個職位。

　　但是阿貝爾失蹤了，連克列爾都不知道他的下落，他像空氣一樣消失了。