柯西聲名遠播，很多學生都喜歡去聽的課。

　　一個崇拜柯西的學生問柯西:“數學的用途在哪裡?”

　　柯西對這個問了多次的問題都不再想去回答。

　　學生也覺得問的沒有水平，隻得改口說:“物理學的一些模型可以反映數學的本質嗎?”

　　柯西說:“不可以，純數學的東西，只能依靠抽象的想象，所以沒辦法讓實體的東西反映出來。如果說能，那才是撒謊。”

　　學生說:“言為之意是數學無用嗎?”

　　柯西說:“錯誤，雖然數學不能被實體表現出來。但是很多實際的東西的原理卻暗含著重要的數學，被數學的框架所支撐。”

　　學生說:“如此矛盾如何理解?”

　　柯西說:“優秀的數學家就可以提取出實體中真正屬於數學的東西，而不會讓實體去可以表現出數學的抽象模型。數學家可以有建立重要模型的能了，而不是費力的去學習，或者抓不住問題的重點。”

　　在數學中，一個柯西序列是指一個這樣一個序列，它的元素隨著序數的增加而愈發靠近。更確切地說，在去掉有限個元素後，可以使得余下的元素中任何兩點間的距離的最大值不超過任意給定的正的常數。

　　一組數列由許多元素組成，每個元素都有一個唯一的序號。柯西序列是這樣一組數列，它的元素隨著序號增加而接近。

　　給定一個數列，如何判斷它是否是柯西序列?方法是先去掉N個元素(N是有限的數)，再看剩下的元素有沒有這樣一種規律:任何兩個元素之差不大於任意指定的正數。

　　這種序列有無窮多個元素，我們可以舉一個具體的例子。比如一個序列:{X1， X2， X3， X4…}，其中X1 = 1， Xn+1 =(Xn + 2 / Xn)/ 2。這個序列其實是:{1， 3/2， 17/12 …}。可以證明這個數列最後收斂到一個無理數:根號2。既然它收斂於某個具體的數(根號2)，那麽當我們去掉有限個數之後，剩下的數都無窮接近於根號2，當然任何兩個元素之差不大於任意正數，於是能確定這是柯西序列。

　　我們可知，柯西序列的定義有賴於如何定義距離。在上述例子裡，我們把兩個數之差定義為它們的距離，當然距離還有其他的定義方法。只有定義了距離，柯西序列才有意義。換句話說，只有在度量空間中柯西序列才有意義。

　　柯西序列的重要作用是定義“完備空間”。完備空間是指一種度量空間，它的所有柯西序列(如果有的話)，都收斂在這個空間自己裡面。有一種直觀的形容方法就是完備空間“沒有孔”(內部不缺點)，“不缺皮”(邊界不缺點)。完備空間在數學分析裡面有重大作用。