1757年，以拉格朗日為首的一批科學家，在意大利成立了一個數學協會，這是都靈皇家科學院的前身。

　　1770年，拉格朗日證明了任意正整數可表為四個平方數之和。

　　1770年，拉格朗日出版了《關於方程代數解的思考》(Ré sur la ré algébrique des é)，這是一個對於最高次數為四次的方程存在根式解的原因的基礎研究。該論文首先將方程的根視為抽象量而不是數字。他研究了根的置換，這項工作導致了群論。

　　1771年，拉格朗日證明了威爾遜定理(首先由華林(Waring)提出但未給出證明)，即n是素數當且僅當(n - 1)！+ 1被n整除。

　　1780年，拉格朗日因為研究行星對彗星軌道的擾動的工作獲得了法國科學院的最高獎。

　　1785年，拉格朗日開始了關於橢圓函數和橢圓積分的工作。

　　1788年，拉格朗日出版了《分析力學》(Mécanique analytique)。它總結了自牛頓時期以來在力學領域完成的所有工作，值得注意的是它使用微分方程理論。通過這項工作，拉格朗日將力學轉化為數學分析的一個分支。

　　1797年拉格朗日出版了《解析函數論》。它是第一本研究單變量實變函數理論的論文。它使用現代記號，例如dy/dx表示導數。

　　拉格朗日法國數學的狀態，能不能依靠數學掙錢?

　　拉格朗日受到拿破侖重用後，都明白是他的數學和物理學十分的好。

　　拉格朗日也確實被人建議過，數學也能成為一個可以賺錢的產業。

　　但是歷史上沒有過這樣的事情。就算學者們關心數學，也不可能是直接能拿數學知識賣錢的，能想到的頂多是當老師罷了。

　　但拉格朗日知道數學能賣錢是當老師的意思，而是需要一個有用的創新，推動社會的發展。大家都要善於解決數學問題的熱情和能力。這才是數學真正的目的。

　　這種目的就像是點子公司，想出好的辦法解決問題，以此賺錢。

　　最重要的是，數學家以此賺錢的核心就是賣出自己的知識產權，如果是產權，那就是別人用到的時候，就需要給自己付錢。這就是引用費。

　　達朗貝爾對拉格朗日說了自己關於對牛頓第二定律的不同理解，朗格朗日也有了自己的新看法。

　　達朗貝爾說:“我的虛功虛位移都是為了解釋靜力學的平衡問題的。”

　　拉格朗日說:“我找到了一個新的方程，把虛功虛位移給結合起來了。”拉格朗日說得就是拉格朗日方程。

　　達朗貝爾看到拉格朗日方程寫的是:L=T-V。開始問:“L是以你自己名字命名的，那T代表什麽?V又代表什麽?”

　　拉格朗日說:“說T代表的是系統的動能，V代表系統的勢能。”

　　達朗貝爾說:“你的這個拉格朗日系統L是研究什麽的?”

　　拉格朗日說:“我研究的就是系統的作用力。”

　　達朗貝爾說:“像我的風格，不過，你如何去研究系統中每個點的力呢?”

　　拉格朗日說:“裡面各個質點的坐標也是廣義坐標，裡面受到的力也是廣義的力。”一邊說著，一邊寫出一個關於廣義坐標的二階微分方程組。繼續說:“想知道系統運動規律，則需要對方程進行積分。”

　　達朗貝爾說:“坐標被動量表示，動量又被坐標表示。感覺互相循環了。”

　　拉格朗日說:“對於僅僅有廣義坐標導數的循環坐標，積分也是循環積分。”

　　達朗貝爾說:“或許這就是未來的力學，三體問題都無法很好的解決，所以不要指望會有質點力學的精細分析。”