拉格朗日對對方程感興趣的魯菲尼說:“我突然有個發現，不知道對不對。”

　　魯菲尼說:“我知道，你這兩天在研究解方程的問題，沒有弄力學。”

　　拉格朗日說:“力學是一輩子的事兒，也不在乎這幾天。更何況，方程就是為了解決力學的。”

　　魯菲尼說:“方程的問題，無非就是解高次方程。”

　　拉格朗日說:“肯定的，只是我發現了一種奇特的東西，五次方程恐怕沒有解法。”

　　魯菲尼說:“可以理解，但是我不能肯定你說的話。畢竟，三次方程的解就有了足夠的難度，四次方程以及難的上青天了。五次方程就算有解，恐怕能長的寫一本書了。”

　　拉格朗日說:“我決定貌似不能用代數方法表達出來。”

　　魯菲尼說:“胡說！哪裡會有這種事情?”

　　拉格朗日說:“關鍵是，我還發現了一種奇怪的特征，我想跟你討論。”

　　魯菲尼說:“還有奇怪的?”

　　拉格朗日說:“我發現2、3、4次方程的解與2、3、4元素的置換有關系。”

　　說著拉格朗日畫出了2、3、4的置換，對魯菲尼講解了置換的概念。

　　魯菲尼說:“貌似確實有關系，我以前有這樣的感覺，但是沒有認真注意過，你認為5次置換……”

　　拉格朗日說:“沒錯，五次的置換有問題！”

　　魯菲尼說:“現在面臨著兩個問題，第一，五次置換有什麽問題，你能說清這個問題嗎?第二，五次置換的問題跟5次方程有關系嗎?第三，你能用現有的代數學證明出來嗎?”

　　拉格朗日說:“第一，我用第六感能感覺出來，肯定有關系。只是這第二個，有點麻煩。恐怕不能用現有的代數知識來證明。需要引入新的數學工具。”

　　魯菲尼說:“如果引入新工具，你的這個新工具就要有嚴謹性和準確性，不能有讓人懷疑的地方。”

　　拉格朗日說:“姑且叫這個理論為置換理論吧，對於3、4次的置換，他們都要自己的整個的子交換，5次沒有這種正規的子交換。”

　　魯菲尼說:“什麽是子交換?”

　　拉格朗日說:“像合數有自己的因子一樣，交換也有自己的因此，可以做乘除法運算。如果H是有限交換G的子交換，那H的階整除G的階。階就是可以交換數。我試過2、3、4次這些置換的乘除，和對應的置換的乘除，都是成功的。而5次根本就沒有2、3、4次這樣成功的結構。”

　　魯菲尼說:“因為你看到五次方程沒有這種正常的子交換，所以，你認定五次方程不會有代數的解法。我認為這個說法還是有些突兀。”

　　拉格朗日說:“這個問題有複雜，只能交給聰明的後代去做了。”