費馬跟梅森說:“我又發現一個有趣的東西?”

　　梅森習以為常的說:“我知道，你一直在發現很多東西。”

　　費馬說:“我發現一個多邊形數。”

　　梅森說:“那先解釋什麽是多邊形數?”

　　費馬說:“一個圓點只有一個點，所以多邊形數為一。一個三角形數需要在這個點外伸出兩個點，所以為多邊形數為3，如果再往外延伸，需要再加三個點，得到六個點，多邊形數為六。”

　　一面說，費馬一面畫出三角形數的圖形。

　　梅森說:“為什麽是這樣的?你規定了什麽?”

　　費馬說:“這個多邊形為三角形的時候，點與點直接距離相等。”

　　梅森說:“然後為10，再然後為15等等。”

　　費馬說:“正確。”

　　不一會兒兩個人還是畫出四邊形、五邊形、六邊形的數分別都是:

　　四邊形數為1、4、9、16、25等

　　五邊形數為1、5、12、22、35等

　　六邊形數為1、6、15、28、45等

　　梅森說:“你這樣要做什麽?”

　　費馬說:“每一個正整數都可以表示為最多n個n邊形數的和。每一個正整數一定可以表示為不超過三個的三角形數之和、不超過四個的平方數之和、不超過五個的五邊形數之和，依此類推。”

　　梅森說:“原來你還在研究平方數和的一些規律呀！”

　　費馬說:“沒錯。”

　　梅森說:“你打個比方，我聽聽。”

　　費馬說:“兩個個三角形數的例子，例如17 = 10 + 6 + 1，4=1+3。一個眾所周知的特例，是四平方和定理，它說明每一個正整數都可以表示為最多四個平方數之和，例如7 = 4 + 1 + 1 + 1。”

　　梅森說:“你證明了嗎?”

　　費馬說:“證明的事情恐怕要交給後人了。”

　　拉格朗日在1770年證明了平方數的情況，高斯在1796年證明了三角形數的情況，但直到1813年，柯西才證明了一般的情況。