祖暅看到一個小孩在撥弄銅錢，左邊整整齊齊疊放8枚，右邊有點亂的疊放成8枚。

　　祖暅看著這兩個8枚銅錢，心裡突然在想:“不管怎麽疊放，這兩排銅錢都是一樣多的。”

　　都芳看到祖暅如此說:“這不是廢話嗎?不管怎麽放，當然都是一樣多的了。”

　　祖暅說:“那是因為這兩排銅錢，每一層都是一樣。”

　　都芳對祖暅說的話，更摸不著頭腦，但是看到祖暅已經有了某種發現。

　　祖暅說:“我知道，劉徽的對於球體的計算是錯誤的。”

　　都芳說:“他提出的難方法是取每邊為1寸的正方體棋子八枚，拚成一個邊長為2寸的正方體，在正方體內畫內切圓柱體，再在橫向畫一個同樣的內切圓柱體。這樣兩個圓柱所包含的立體共同部分像兩把上下對稱的傘，劉徽將其取名為“牟合方蓋”。根據計算得出球體積是牟合方蓋體的體積的四分之三，可是圓柱體又比牟合方蓋大，但是《九章算術》中得出球的體積是圓柱體體積的四分之三，顯然《九章算術》中的球體積計算公式是錯誤的。劉徽認為只要求出牟合方蓋的體積，就可以求出球的體積。可怎麽也找不出求導牟合方蓋體積的途徑。”

　　祖暅說:“我想到了，只要使用剛剛那個銅錢的原理，就可以計算出來球體體積了。”

　　都芳疑惑的說:“你剛剛發現了什麽原理?”

　　祖暅說:“太簡單了。“兩個同高的立體，如在等高處的截面積相等，則體積相等。更詳細點說就是，界於兩個平行平面之間的兩個立體，被任一平行於這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積相等，則這兩個立體的體積相等。”

　　都芳說:“這如果求球體體積?找一個跟球體登高的東西嗎?”

　　祖暅說:“知道半球體，就會知道整個球體體積。而半球體與圓柱取出其中圓錐剩下的”

　　祖暅說著，畫出了一個半球體，然後在旁邊對齊畫出登高圓柱體，這個圓柱體直徑與半球體直徑一樣。

　　祖暅在圓柱體裡畫出了一個與圓柱等高的圓錐，並且指示這部分的圓錐已經取出來了。

　　都芳說:“那就留下了一個缺圓錐的圓柱了。怎麽證明，這部分跟旁邊的半球體積一樣。”

　　祖暅說:“跟剛剛小孩那兩排8枚銅錢的原理一樣。”

　　祖暅說著，畫出任一截面，截取了缺圓錐圓柱體和半球，把截取的這兩個面積畫出來。

　　祖暅對都芳說:“不論我的截面如何挪動，你都能發現半球截面和那缺圓錐圓柱的截面是相等的。只要我能求出這個缺圓錐圓柱的體積，就可以求出半球體。”

　　都芳說:“缺圓錐的圓柱是原來圓柱的三分之二的體積啊。所以一個球體體積應該是。”

　　都芳邊想邊算，說:“所以一個球體是這個圓柱的三分之四的體積。”

　　祖暅說:“劉徽居然認為是四分之三，他算反了，哈哈哈。”