在19世紀早期，威廉·羅文·漢密爾頓發現了一種具有近乎神奇性質的新型幾何空間。它把運動和數學編碼成一個單一的、閃爍的幾何物體。

　　這一現象催生了一個叫做辛幾何的領域。在過去的幾十年裡，它已經從一個小的見解集合發展成為一個動態的研究領域，與數學和物理的更多領域有著深刻的聯系，比漢密爾頓所能想象的還要多。

　　辛幾何最終研究的是具有辛結構的幾何空間。但是一個空間有一個結構到底意味著什麽——更不用說這個特殊的結構了——需要一點解釋。

　　幾何空間可以像防水面料一樣松軟，也可以像帳篷一樣僵硬。西北大學的艾美·墨菲說:“防水布很有可塑性，但不管怎樣，你可以用一堆樹枝或腳手架來塑造它。”。“這讓它變得更加具體。”

　　結構最少的空間只是連接點的集合。直線是一維空間。球的表面是二維的。這些空間中缺乏結構意味著很容易在不從根本上改變它們的情況下使它們變形:扭曲線條，膨脹、縮進或扭曲球體，在研究這些非結構化空間的拓撲學家看來，它們仍然是一樣的。

　　劍橋大學的艾爾莎·基廷說:“就地形學家而言，如果你從一個球的表面開始，你可以隨心所欲地拉伸它，但只要你不打破它，它對他們來說仍然是同一個空間。”他們對整體形狀感興趣。”

　　當然，當數學家談論空間變形時，他們並不是說要用手拉它。相反，它們用函數變換空間:一個點的坐標變成一個函數，一個新點的坐標就出來了。這些變換將空間的每一個點帶到空間中的新點。這在數學上相當於晃動防水棉。

　　您還可以向空間添加更多的結構。這種結構增強了空間包含的信息，但也限制了變形的方式。

　　例如，您可以向球的表面添加度量結構，例如在地球儀上添加經度和緯度線。這種結構使測量兩點之間的距離成為可能。但是一旦添加了這個度量，你就不能再在不破壞原有結構的情況下使球膨脹或縮進，因為這樣你就改變了點與點之間的距離。例如，如果你使地球膨脹，紐約和倫敦會相距更遠。

　　辛結構是另一種可以添加的結構，它提供了一種測量空間面積的方法，並且只有在面積測量值保持不變的情況下，你才能改變空間的形狀。

　　漢密爾頓在研究諸如行星運動等物理系統時發現了第一個這樣的空間。當行星在空間中移動時，它的位置是由三個坐標確定的，分別是x、y和z軸。這些點代表了行星所有可能的位置，形成了一個三維空間。

　　漢密爾頓觀察到，在三維空間的每一點上，你可以指定三個額外的坐標，來指定行星沿每個軸的動量。叫他們xm，ym和zm。現在你有六個坐標:****位置，****動量。這六個坐標定義了一個新的六維空間中的點。

　　他的六維空間是一個辛結構空間的例子，因為它可以進行面積測量。這就是它的工作原理。

　　在空間中的每一點上都可以畫出六個“矢量”，或者有向箭頭，它們對應著行星在矢量所指向的維度上的方向或動量。因為兩個向量可以定義一個平行四邊形——一個有面積的二維空間——我們可以取空間中的兩個向量來測量一個面積。

　　但是為了確保它是一個非零的數字，你必須選擇特定的一對向量:那些表示沿著同一軸的方向和動量的向量。不匹配的向量，如z方向向量與y動量向量配對，

形成面積為零的平行四邊形。　　這些成對向量也反映了辛空間的另一個重要性質，即它們與複數的內在聯系。這些數字包括i，即?1的平方根，它們采用a+bi的形式，其中a是實部，b是虛部。定義六維辛空間的一種方法是用三個複數，每個複數的兩個部分提供兩個坐標。這兩部分也對應於我們配對測量面積的兩個向量。

　　因此，對於每個點，基於x的方向和動量向量(例如)不僅提供了測量面積的方法，而且構成了定義空間的三個複數之一。這種關系反映在辛的名稱中，辛來自希臘語單詞sumplektikós，相當於基於拉丁語的“complex”，這兩個詞都意味著“編織在一起”——這讓人聯想到辛結構和複數相互交織的方式。

　　這也是辛空間吸引數學家想象力的主要原因之一。

　　辛幾何研究是一種保持辛結構，保持面積測量不變的空間變換。這允許在您可以使用的轉換類型方面有一定的自由，但不是太多。因此，辛幾何佔據了一種介於防水布的松散拓撲和帳篷的剛性幾何之間的中間位置。 維持辛結構的轉換類型被稱為哈密頓異型。

　　但是，盡管漢密爾頓發現了辛空間的第一個例子，接著數學家開始思考在與物理世界無關的幾何空間中，辛現象會是什麽樣子。

　　數學家總是喜歡推廣，所以我們可能會說，‘如果我們生活在八維空間而不是三維空間，經典力學會是什麽樣子?

　　從20世紀60年代開始，弗拉基米爾·阿諾德()就提出了幾個有影響力的猜想，這些猜想抓住了辛空間比普通拓撲空間(比如松軟的球面)更具剛性的具體方式。其中一個被稱為阿諾德猜想，它預測了哈密頓方程的異態具有數量驚人的“固定”點，這些點在變換過程中不會移動。通過研究它們，你可以知道是什麽使辛空間不同於其他的幾何空間。

　　20世紀80年代末，一位名叫安德烈亞斯·弗洛爾(AndreasFloer)的數學家提出了一種名為弗洛爾同構的理論，這是一種強有力的框架，是數學家現在研究辛現象的主要方法。它使用了被稱為偽全純曲線的對象，這種曲線以迂回的方式允許數學家計算不動點，並確定它們的某個最小數目是辛空間固有的。

　　物理學符號也是人類解釋世界的工具，而不能把物理學理解為客觀世界的本質！

　　Gromov，Arnold，Sindel，Eliashberg都是辛幾何傳奇，達布定理是辛幾何第一個定理

　　結構和量化，它們互相成就！這畫面太美，已延續400年