加拿大數學家西蒙柯亨在他對哥德爾的致敬中回憶道:在博士考試中，我被要求寫出5個哥德爾定理。這個問題的實質是，每一個定理要麽催生了一個新的分支，要麽徹底改變了現代數學邏輯。證明理論、模型理論、遞歸理論、集合理論、直覺邏輯——所有這些都被哥德爾的工作轉化了，或者在某些情況下，從哥德爾的著作中得到了它們的起源。

　　但在哥德爾的輝煌成就中，有一個格外突出——哥德爾不完全性定理。一個人不需要成為一個實踐數學家來掌握不完全性定理的基本思想和信息。也許這就是為什麽這個結果在流行的科學辯論中獲得了如此多的勇氣的原因。但這種巧妙的簡潔只是1931年的作品與這位奧地利知識巨人的其他傑出作品區別開來的眾多方面之一。

　　在我看來，當我們第一次遇到不完全性定理時，它不僅僅是許多數學結果中的一個。也就是說，它的目的不是確定某個抽象對象X是否具有屬性。相反，它屬於某一領域內可言數學命題的總和。人們可能會說，它說明了一切。

　　當然這樣的論點有點過早，因為原始論文只是把句子集表述成數學原理的形式，但由於系統在包含基本算法的情況下就出現了不完備性，我們可以恰當地得出結論，認為這個結果中有一些非常深刻和非常深遠的東西。然而，哥德爾本人，盡管他很謹慎，直到1935年看到圖靈對可計算性的分析，他才相信所有形式系統都有一些精細的算術的不完全性。正是圖靈的工作使不可判定性成為一個普遍的、具有哲學魅力的概念。在普林斯頓兩百周年數學問題會議上，哥德爾說:塔爾斯基在他的演講中強調一般遞歸概念的重要性。在我看來，這種重要性很大程度上是因為有了這個概念，人們第一次成功地給一個有趣的認識論概念下了一個絕對的定義，也就是說，不依賴於所選擇的形式主義。

　　哥德爾指的是一種形式系統，其中某些真實的表述是無法證明的，圖靈證明了人們可以想象的“計算機器”無法計算某個函數的值。由於他對可計算性概念的分析，圖靈的情況不受形式系統選擇的限制，因此是絕對的。他解釋說:哥德爾已經表明(在數學原理的形式主義中)有命題U使得既不U也不?U是可證明的。結果表明，在形式主義內不能給出數學原理(或具有基本算術的任意形式系統的K)的一致性的證明。[…]我將證明，沒有通用的方法可以判斷給定公式是否可以在K中證明。

　　的確，這是反思數學真理概念的一大步，可能是歷史上最重要的一步。它以一種獨特而簡單的方式向我們表明，真理並不立即意味著可證明。從這個意義上說，這種數學的結果對哲學家比數學家更重要。因此，包括哥德爾和圖靈在內的哲學家，開始反思這個驚人定理的哲學意義。

　　現在，一般來說，由於圖靈的工作為計算機科學奠定了基礎，並最終導致了第一台計算機的建立，人們可以問關於計算機的數學能力:它們證明數學定理的“能力”的限制是什麽?

　　一些思想家，如約翰·盧卡斯和著名物理學家羅傑·彭羅斯(他是2020年諾貝爾獎得主)相信哥德爾和圖靈的工作以數學精度證明了人類的思維“無限超越機器”。盡管盧卡斯和彭羅斯的觀點不同，他們的推理的要點是:考慮一個具有遞歸公理和足夠表達能力來表述算術真理的正式系統S，它在圖靈機M中有一個對等物。

　　你可以找到這個系統的一個哥德爾句子(一個從系統的角度無法判定的句子)，它的真實性對人類來說是直觀可見的。

　　由於M不能證明哥德爾的這句話，所以它的數學能力不如人腦。因此，人類的大腦具有某種機器所缺乏的製造數學的能力。

　　哥德爾還認為，大腦的認知能力比機器更強。他認為，分析基本數學概念，從而建立新的、更完美的無窮公理的過程，是我們優於機器的證據。他聲稱:在系統地建立數學公理的過程中，新的公理(這些公理與先前建立的公理之間的形式邏輯並不一致)一次又一次地變得明顯起來。它並沒有完全被前面提到的否定結果所排除，盡管如此，每一個明確提出的數學“是或不是”問題都是可以用這種方式解決的。因為正因為如此，基於機器無法模仿的原始概念的意義而產生的越來越多的新公理就變得顯而易見了。(哥德爾，1995年，第385頁)

　　哥德爾堅信，每一個數學上的“是”或“不是”問題都可以被回答，這種信念被稱為“理性樂觀主義”。雖然他公開支持這個觀點，但他發現，他的不完整定理(以及圖靈的工作)並不一定意味著人類現在和將來都將站在機器之上。

　　因為誰能說我們自己不是機器，只是比圖靈機更有能力?也許我們可以用哥德爾的一句話:誰能證明人類思維的一致性?即使大腦超越了機器，也許它還有一些未知的東西。哥德爾在今天所謂的“哥德爾分離”中表達了可能性的范圍:要麽人類的思維超過了所有的機器(更精確地說，它能比任何機器決定更多的數字理論問題)，要麽存在著人類思維無法決定的數字理論問題。

　　每一種可能性都令人著迷:如果人類的思維能力超過了機器，那麽我們的大腦中肯定有一些IT工程師無法構建的東西。換句話說，大腦不能被映射到電腦中。因此，我們的人工智能夢想被擊碎了。這個選擇激發了對意識本質的詢問。人們可能會想，之所以不可能把它構造成機器，是因為它是非物質的。

　　第二種選擇似乎更不現實。如果某些數學問題有一個答案，而這個答案是人類思維無法觸及的，這就意味著我們可以談論一些柏拉圖式的“數學”——獨立於我們思維的對象(定理)，客觀且不變。這似乎把我們推向了違背我們意願的哲學觀點！

　　還有第三種選擇:雖然析取是以“非此即彼”的形式陳述的，但這兩種可能性似乎並不相互排斥。兩種情況都有可能發生。我們可以想到某種認知能力的層次，它從圖靈機開始，然後進入人類的思維，然後到達後者無法到達的領域。這種選擇引入了大量的本體論差異，因此是非常不經濟的，但我們仍然不能排除它。

　　必須強調的是，第二次吸取並不意味著答案是不可接近的。也就是說，它仍然可能是沒有“數學”的情況，而數學純粹是人類心靈自由活動的果實。如果人類沒有答案，那麽就沒有答案。這條路把我們引向了一個更深層次的問題:我們能否從一個接一個的“實際”任務中，以某種方式研究數學問題是否有抽象的答案?也許數學中使用的概念具有某種固有的形式，從而導致給定問題的“不合理“?也許有一些深奧的數學語法，可以告訴我們“沒有確定一個任意問題的一般程序”，但為什麽會這樣?

　　如果我們願意，我們可以進一步對初始情況進行問題分析。既然心智實際上是一台機器這一觀點沒有被證明是錯誤的，那麽我們就可以假設存在某種“超級機器”，它能夠看到我們的不完整性。 這將把這個定理最初的哲學結論顛倒過來。

　　圖靈相信，他和哥德爾的研究結果表明，抽象的人類大腦在數學上總是比一台人造計算機更有能力。但是，當所有計算機“聯合起來”時，它是否會超越所有計算機的總和，這個問題並不是那麽明顯。圖靈也看到了這個問題，他在1951年的BBC廣播中說，機器不可能是智能的，我們不可能從機器的研究中學習到關於我們自己大腦的任何東西。

　　另一方面，哥德爾相信大腦無限地超越機器。在1936年的論文中，他(錯誤地)采用了圖靈的推理，認為大腦可以等同於機器。他把這種說法稱為“哲學謬誤”。後來在與王浩的談話中，他這樣說

　　大腦在使用中不是靜止的，而是不斷發展的。

　　機器不能以這種方式發展。這種開發過程是非算法的、非機械的、機器無法追蹤的。因此，機制和反機制之間的新論述開始於兩位為計算機科學奠定理論基礎的研究成果之父的陳述。

　　當然，在討論中還有很多需要澄清的地方。“人類思維”、“抽象思維”以及“機器”的概念仍然需要一些解釋。更不用提圖靈的“獨創性”和“直覺”概念，以及哥德爾的“數學直覺”，這些概念在這場爭論中扮演著重要的角色，但仍然非常模糊。

　　我們在問題中越陷越深。一段時間以前，不完全性定理對我來說似乎是一個決定性的論點，結束了許多討論。但最近我傾向於看到相反的情況:它激發了多少問題，以及這件藝術品在哲學上有多麽豐富。