1637年，費馬在書本空白處提出費馬猜想。

　　1770年，歐拉證明n=3時定理成立

　　1823年，勒讓德證明n=5時定理成立。

　　1832年，狄利克雷試圖證明n=7失敗，但證明 n=14時定理成立。

　　1839年，拉梅證明n=7時定理成立。

　　1850年，庫默爾證明2

　　1955年，范迪維爾以電腦計算證明了 2

　　1976年，瓦格斯塔夫以電腦計算證明 2

　　1985年，羅瑟以電腦計算證明2

　　1987年，格朗維爾以電腦計算證明了 2

　　1995年，懷爾斯證明 n>2時定理成立。

　　雖然是個丟番圖方程，但是懷爾斯卻沒有用代數學的知識去破解。

　　而是用了一個很神秘的工具，就是谷山豐志村五郎定理中的一個情況去證明的。谷山豐志村五郎定理是指所有的模形式與橢圓曲線是一一對應的，這個理論極為神秘，但卻基本，一直到後來的BSD定理也是於此有關的，還沒有完全解決。

　　法爾廷斯證明了莫德爾猜想，說只要代數曲線在複空間上的形狀上有大於1的虧格洞，那上麵包含的有理點也只能有有限個。

　　費馬大定理這樣的方程在複空間上，就是一個虧格大於一的方程。

　　1984年，德國數學家弗雷在德國小城奧伯沃爾法赫的一次數論研討會上宣稱:假如費馬大定理不成立，則由費馬方程可構造一個橢圓曲線，它不可被模形式化。也就是說谷山—志村猜想將不成立。但弗雷構造的所謂“弗雷曲線”不可模形式化也說不清具體證明細節，因此也只是猜想，被稱為“弗雷命題”，弗雷命題如得證，費馬大定理就與谷山—志村猜想等價。

　　1986年美國加州大學伯克利分校的肯·裡貝特教授完成了弗雷命題的證明。

　　1986年，英國數學家安德魯·懷爾斯聽到裡貝特證明弗雷命題後，感到攻克費馬大定理到了最後攻關階段，並且這剛好是他的研究領域，他開始放棄所有其它活動，精心梳理有關領域的基本理論，為此準備了一年半時間把橢圓曲線與模形式通過伽羅瓦表示方法“排隊”。

　　接下來的要將兩種“排隊”序列對應配對，這一步他兩年無進展。

　　此時他讀博時學的岩澤理論一度取得實效，到1991年他之前的導師科茨告訴他有位叫弗萊切的學生用蘇聯數學家科利瓦金的方法研究橢圓曲線，這一方法使其工作有重大進展。

　　1993年6月在劍橋牛頓學院要舉行一個名為“L函數和算術”的學術會議，組織者之一正是懷爾斯的博士導師科茨，於是在1993年6月21日到23日懷爾斯被特許在該學術會上以“模形式、橢圓曲線與伽羅瓦表示”為題，分三次作了演講。

　　聽完演講人們意識到谷山—志村猜想已經證明。

　　由此把法爾廷斯證明的莫德爾猜想、肯·裡貝特證明的弗雷命題和懷爾斯證明的谷山—志村猜想聯合起來就可說明費馬大定理成立。

　　但此刻數學界反倒十分冷靜，明確指出論證還需仔細審核，因為歷史上曾多少次宣布證明但後來被查證錯誤。

　　懷爾斯的證明被分為6個部分分別由6人審查，其中由凱茲負責的第三部分查出關於歐拉系的構造有嚴重缺陷，使科利瓦金—弗萊切方法不能對它適用，懷爾斯對此無能為力，

1993年12月懷爾斯公開承認證明有問題，但表示很快會補正。　　一時間懷爾斯的證明被認為是歷史上拉梅、柯西、勒貝格、裡貝特(裡貝特也曾稱證明了谷山—志村猜想)錯誤證明的又一例子。

　　1994年1月懷爾斯邀請劍橋大學講師理查德·泰勒到普林斯頓幫他完善科利瓦金—弗萊切方法解決問題，但整整8個月過去，問題沒有解決。

　　泰勒準備再過一個月後回劍橋，然後懷爾斯正式公布手稿，承認證明失敗，1994年9月19日懷爾斯想自己證明失敗原因該怎麽寫，回顧自己是先用岩澤理論未能突破而後用科利瓦金—弗萊切方法，又對該法一類特殊歐拉系出了問題，這樣一想，突然又想到何不再用岩澤理論結合科利瓦金—弗萊切方法試試?問題解法就是這樣，懷爾斯絕處逢生，修補了漏洞。

　　1994年10月25日11點4分11秒，懷爾斯通過他以前的學生、美國俄亥俄州立大學教授卡爾·魯賓向世界數學界發送了費馬大定理的完整證明郵件，包括一篇長文“模形橢圓曲線和費馬大定理”，作者安德魯·懷爾斯。另一篇短文“某些赫克代數的環理論性質”作者理查德·泰勒和安德魯·懷爾斯。至此費馬大定理得證。

　　123

　　1993年6月，在英國劍橋大學的一場數學會議上，安德魯·懷爾斯(Andrew Wiles)做了一系列報告，標題晦澀難懂——“模形式、橢圓曲線、伽羅瓦表示”( Forms， Elliptic Curves， and Galois )。他的論證過程冗長且技巧性很強，到第三次演講進行20分鍾後才進入尾聲。為了強調所得結果，他在最後打上了:

　　=>FLT

　　Fermat's Last Theorem，費馬大定理，是數學史上的著名猜想，由 17 世紀法國律師兼業余數學家皮耶·德·費馬(Pierre de Fermat)提出，但經過350年仍然沒有完備的證明。普林斯頓大學的教授懷爾斯躲在家中的閣樓裡，默默研究這個古老難題整整七年。現在，他要在會場公布自己的證明。

　　注:模形式( form)是一種解析函數，這種函數的隻接受來自複數平面內上半平面中的值，並且這種函數在一個在模型群的群運算之下，會變成某種類型的函數方程，並且通過函數計算出的值也會呈現出某個增長趨勢。模形式理論屬於數論的范疇。模形式也出現在其他領域，例如代數拓撲和弦理論。

　　伽羅瓦群:在數學中，特別是抽象代數理論中，由法國數學家埃瓦裡斯特·伽羅瓦(évariste Galois)得名的伽羅瓦理論提供了域論和群論之間的聯系。應用伽羅瓦理論，域論中的一些問題可以化簡為更簡單易懂的群論問題。

　　這番講話令在座的人，乃至全世界震驚。第二天這件事就登上了《紐約時報》的頭版。懷爾斯一時間名聲大振。服裝零售商Gap邀請懷爾斯參與設計一款新的牛仔褲，但最終被他拒絕。他被《人物》評為“年度最有魅力的25位人物”之一，在列的還有戴安娜王妃、邁克爾·傑克遜和比爾·克林頓。著名撰稿人Barbara Walters聯系他進行訪問，而懷爾斯回復道:“Barbara Walters是誰?”

　　但慶祝並沒有持續多久。一個證明被提出之後，必須經過仔細的檢查和驗證才可能被承認。懷爾斯向世界頂級數學期刊 Mathematicae提交了長達200頁的證明。該期刊的編輯隨後將這份手稿分發給6位審稿人，其中一位是普林斯頓大學的數學家Nick Katz。

　　Katz和他的法國同事Luc Illusie一起，花了兩個月時間，仔細檢查了所負責部分的每個邏輯環節。每當他們會遇到一些無法理解的論證時，Katz便會給懷爾斯發郵件，而懷爾斯會回復澄清問題。但到了8月底，懷爾斯對一個問題的解釋並不能說服兩位審稿人。在進一步研究後，懷爾斯明白Katz找到了論文數學邏輯框架中的一個缺陷。起初，簡單的修複看似可行。但當懷爾斯著手修複缺陷時，邏輯框架的碎片開始脫落。

　　懷爾斯意識到，這不只是一個淺顯簡單的失誤，它甚至可能超出一個可修複缺陷的范疇，這時他變得愈發惶恐。如果它是一道裂縫，一個無法修補的缺陷，那將使得整個大定理的證明崩塌殆盡。

　　數學史上的黯淡的一頁

　　費馬大定理具有不可思議的簡潔性，它由費馬於1637年提出。當時他正在閱讀古希臘數學家丟番圖()編纂的《算術》(Arithmetica)。書中有關於畢達哥拉斯定理(勾股定理)的討論。如我們所學，直角三角形斜邊長的平方是兩直角邊的平方和。用數學形式可以表示為x2 + y2 = z2，其中x、y、z分別是三角形中兩條直角邊和斜邊長。

　　丟番圖找到了一些滿足條件的正整數解，將其命名為“勾股數組”，並且證明了存在無窮多對勾股數組(嚴格來說，存在無窮多個三個數互質的素勾股數組)。最簡單的例子是直角三角形的(3， 4， 5)，還有(5，12，13)和(145，408，433)。

　　費馬接著發問:能否在高維下找到類似的數組呢?或者說，形如 a3 + b3 = c3的方程有沒有正整數解?那麽 a4 + b4 = c4 呢?a10，007+ b10，007 = c10，007呢?費馬的答案是不能。將一個高於二次的冪分成兩個同次冪之和，不存在滿足條件的a，b，c。費馬在《算術》的頁邊寫下名句:“關於此，我確信我發現了一種美妙的證法，可惜這裡的空白處太小，寫不下。”

　　他似乎也從沒在別處詳細闡述過。費馬去世後，他的兒子Samuel出版了一本新版《算術》，裡面囊括了他老爹在頁邊空白處所做的所有筆記。筆記中的數學命題，往往沒寫下證明過程，留下了一個極為誘人的挑戰。幾年內，讀者幾乎證明出了所有命題，除了那個關於高維勾股數組的命題，那是“最後一個”未能被證明的命題(費馬大定理也稱作“費馬最後的定理”)。

　　幾個世紀以來，費馬大定理成了科學家、業余愛好者和“民科”們追逐的對象，每次看似靠近卻發現沒有出路。(數學王子高斯是早期少數抵製其魅力的數學家之一，他駁斥其為“一個孤立的命題，讓我沒有什麽興趣”。)法國科學院為它設立了數目可觀的賞金。但即使最優秀的數學家在費馬大定理上取得的進展也很有限。費馬在筆記中給出了n=4時的定理證明。數學家之後也證出大定理對n2)的一組整數解(a，b，c)，那麽就可以得到滿足y2 = x(x – an)(x + bn)條件的橢圓曲線。十年後，德國數學家Gerhard Frey 進一步指出，只有谷山-志村猜想錯誤的情況下，上述橢圓曲線才會存在。或者說得更直接些:谷山-志村猜想一旦成立，那麽費馬大定理必將成立。

　　Ribet證明了Frey的猜想是正確的。這讓懷爾斯倍受鼓舞，現在他可以重拾小時候證明費馬大定理的夢想而不必背離當下主流的數學研究了。他躲進家中的頂樓，決心證明谷山-志村猜想。

　　到1993年12月，距劍橋演講已經過去了6個月，懷爾斯幾乎沒有告訴任何人，這個數學界等待了幾個世紀的證明在他身後搖搖欲墜。只有論文的審稿人和他的密友知道證明存在缺陷。而懷爾斯根本沒有證明費馬大定理的流言開始傳開，數學家們要求他公開論文原稿。如果存在錯誤，同行們寄希望於某個人能魔術般地看清並修複這些缺陷。

　　但懷爾斯不準備讓他人輕易攫取這份榮譽。他又重回閣樓，重回到一種孤獨的狀態，甚至一直擔任懷爾斯非官方新聞聯絡人的Ribet也無法聯系到他。普林斯頓的數學教授、懷爾斯的朋友Peter Sarnak說:“不知怎麽的，人們的想法是‘你要證明費馬大定理，如果不證明出來，你就有麻煩了。’”

　　Sarnak勸說懷爾斯去找個合作者一起修複這個缺陷，即使僅僅“能讓他的想法從過於熟悉的人身上脫離開去。”懷爾斯電話邀請了他以前的學生Richard Taylor。Taylor當時已經是劍橋大學著名的數論學家。起初，他們嘗試了Taylor所說的“局部化處理”:對懷爾斯不完備證明中使用的方法進行小的改良，從而修正錯誤。

　　但這卻於事無補。Taylor回憶說，接著他們決定“擴大范圍，撒張更大的網，來找尋其他的方法”。整個春季再到夏季，他們一直在工作，甚至常常在深夜裡通過電話長時間討論。Taylor說:“我從來沒有收到過如此昂貴的電話帳單。”

　　但是到1994年9月，他們的努力仍然沒有任何進展。在準備向世界承認失敗的前一刻，懷爾斯決定“最後一次檢查”最初的方法結構，試圖確切地找出它不能奏效的原因。 在BBC的記錄片The Proof中，他講述了接下來的故事。“突然間，完全出乎意料，我有了一個難以置信的發現。”在曾經失敗的技術的余燼中，恰恰有用來證明另一個猜想的工具。那個工具就是“岩澤理論”(Iwasawa theory)。他在三年前放棄了這種方法，但現在他能用它徹底地彌補缺陷，從而證明了費馬大定理。“它美得無法形容，它是那麽簡潔而優雅。我呆望著它，難以置信。”

　　憑借著這一理論，懷爾斯和Taylor很快就在幾個星期內修複了論文中的漏洞。1995年5月，他們在國際頂尖期刊《數學年刊》(Annals of Mathematics)上發布了集合所有工作的兩篇論文。最終的證明和附帶的討論長達130頁。

　　這是不是費馬沒有寫下的證明呢?也就是那個因為《算術》頁邊太窄而寫不下的“美妙的證法”?唯一合理的答案是“NO”。為了證明費馬大定理，懷爾斯使用了最新的數學工具和思想，它們的誕生遠遠晚於費馬的時代。大多數數學家認為費馬的定理是在錯誤中總結的。如果他確信自己知道證明方法，很有可能只是迷惑了自己。

　　但重要的不是費馬個人的對和錯。古希臘人點燃了數論領域的源，而費馬的一次誤導性的吹噓，把奄奄一息的火焰煽成了數學的一個主要分支。他不完美的天才留給我們的數學遺產遠遠比給他如何得出猜想的瑣碎小事更為重要。

　　而對懷爾斯來說，所幸他的失誤只是一個可以彌補的小缺陷。