第258章 見證奇跡吧！（上）

  很久很久以後。

  小麥在自己的回憶錄《他改變了劍橋》中提及今日的實驗時，曾經很親切的寫下了一句話：

  “囸孨閁，羅峰！”

  這句話包含了小麥極其複雜的情感，簡稱就是社死到摳腳的尷尬。

  畢竟在場的除了小麥本人和徐雲之外，還有阿爾伯特親王、法拉第、以及焦耳等一系列物理書上的單位.
  當然了。

  此時的小麥還是個非常憨厚的小青年，還沒意識到自己做了一件多麽中二的事情。

  念完這句話後雖然有些臉紅，但還未產生後來那種想要一斧頭劈死徐雲的地步。

  隨後他將這張紙片交還給徐雲，問道：

  “羅峰先生，我們接下來要做些什麽？”

  徐雲看了他一眼，語重心長的拍了拍他的肩膀，說道：
  “不是說了麽，解開電磁世界的封印唄。”

  小麥：

  “.”

  隨後徐雲表情一正，帶著他來到法拉第等人面前：

  “法拉第先生，根據當初肥魚先祖的思路，我們接下來要做的一共有兩件事。”

  法拉第等人做洗耳恭聽狀。

  徐雲豎起一根手指，解釋道：
  “首先是推導，其次是實驗。”

  “推導？”

  法拉第扶了扶眼鏡，重複了一遍這個詞，對徐雲問道：

  “推導什麽東西？”

  徐雲沒有直接回答問題，而是反問道：
  “法拉第先生，我聽說您曾經提出過一個理論，也就是電荷的周圍必然存在有電場，對嗎？”

  法拉第點了點頭。

  學過物理的同學應該都知道。

  法拉第最早引入了電場概念，並提出用電場線表示電場的想法。

  同時還利用磁鐵周圍的鐵屑模擬了磁感線的情況。

  徐雲見說微微一笑，壓製住心中的情緒，盡量面色平靜的說道：

  “我們接下來要推導的，就是電場中存在的一種東西。”

  隨後他拿起紙和筆，在紙上畫出了一道波浪圖。

  也就是正弦函數的圖像。

  接著他在圖像上畫了個圈，對法拉第等人說道：

  “法拉第先生，我們研究物理，目的就是為了從萬千變化的自然界的各種現象裡，總結出某種一致性。”

  “然後用數學的語言定量、精確的描述這種一致的現象。”

  “比如牛頓先生提出的F=ma，1824年熱力學的△S＞0、讀者=帥逼美女等等.”

  “那麽問題來了，在我們現有的世界中，有沒有一道數學方程可以描述波呢？”

  法拉第等人沉默片刻，緩緩搖了搖頭。

  波。

  這是個生活中非常常見的詞，或者說現象。

  除了柰子之外，石頭掉進水裡產生的是波。

  抖動繩子出現的也是波。

  風吹過湖面產生的還是波。

  早先曾經介紹過。

  1850年的物理學水平其實並不低，此時的科學界已經可以測量出頻率、光波長這些比較精細的數值。

  無外乎描述的單位還是負幾次方米，不像後世那樣有納米微米的說法罷了。

  在這種情況下。

  自然也曾經有不少人嘗試研究過波，遠的有小牛，近的有歐拉。

  但遺憾的是。

  由於時代思路的局限性，科學界一直沒能推導出一個標準的、可以描述波規律的數學方程。

  不過眼下徐雲問出了這種話
  莫非
  “羅峰同學，難道肥魚先生已經推導出了波運動的數學表達式？”

  徐雲依舊沒有直接回答這個問題，而是繼續在紙上寫了起來。

  他先在之前繪製出的函數圖像上做了個基礎的坐標系。

  又在X軸方向上畫了個→，寫上了一個V字。

  這代表著一個波以一定的速度v向x軸的正方向運動。

  接著徐雲解釋道：
  “首先我們知道，一個波是在不停地移動的。”

  “這個圖像只是波在某個時刻的樣子，它下一個時刻就會往右邊移動一點。”

  法拉第等人齊齊點了點頭，
  這是標準的人話，不難聽懂。

  至於波在下個時刻移動了多少也很好計算：

  因為波速為v，所以Δt時間以後這個波就會往右移動v·Δt的距離。

  隨後徐雲在其中一個波峰上畫了個圈，又說道：

  “在數學角度上來說，我們可以把這個波看成一系列的點（x，y）的集合，這樣我們就可以用一個函數y=f(x)來描述它，對吧？”

  函數就是一種映射關系，在函數y=f(x)裡，每給定一個x，通過一定的操作f(x)就能得到一個y。

  這一對（x，y）就組成了坐標系裡的一個點，把所有這種點連起來就得到了一條曲線——這是貨真價實的初一概念。

  接著徐雲又在旁邊寫了個t，也就是時間的意思。

  因為單純的y=f(x)，只是描述某一個時刻的波的形狀。

  如果想描述一個完整動態的波，就得把時間t考慮進來。

  也就是說波形是隨著時間變化的，即：
  圖像某個點的縱坐標y不僅跟橫軸x有關，還跟時間t有關，這樣的話就得用一個二元函數y=f(x，t)來描述一個波。

  但是這樣還不夠。

  世界上到處都是隨著時間、空間變化的東西。

  比如蘋果下落、作者被讀者吊起來抖，它們跟波的本質區別又在哪呢？
  答案同樣很簡單：
  波在傳播的時候，雖然不同時刻波所在的位置不一樣，但是它們的形狀始終是一樣的。

  也就是說前一秒波是這個形狀，一秒之後波雖然不在這個地方了，但是它依然是這個形狀。

  這是一個很強的限制條件。

  既然用f(x，t)來描述波，所以波的初始形狀（t=0時的形狀）就可以表示為f(x，0)。

  經過了時間t之後，波速為v。

  那麽這個波就向右邊移動了vt的距離，也就是把初始形狀f(x，0)往右移動了vt。

  因此徐雲又寫下了一個式子：
  f(x，t)=f(x-vt，0)。

  接著他看了法拉第一眼。

  在場的這些大佬中，大部分都出自專業科班，只有法拉第是個學徒出身的‘九漏魚’。

  雖然後來惡補了許多知識，但數學依舊是這位電磁大佬的一個弱項。

  不過令徐雲微微放松的是。

  這位電磁學大佬的表情沒什麽波動，看來暫時還沒有掉隊。

  於是徐雲繼續開始了推導。

  “也就是說，只要有一個函數滿足f(x，t)=f(x-vt，0)，滿足任意時刻的形狀都等於初始形狀平移一段，那麽它就表示一個波。”

  “這是純數學上的描述，但這還不夠，我們還需要從物理的角度進行一些分析。”

  “比如.張力。”

  眾所周知。

  一根繩子放在地上的時候是靜止不動的，我們甩一下就會出現一個波動。

  那麽問題來了：

  這個波是怎麽傳到遠方去的呢？
  我們的手只是拽著繩子的一端，並沒有碰到繩子的中間，但是當這個波傳到中間的時候繩子確實動了。

  繩子會動就表示有力作用在它身上，那麽這個力是哪裡來的呢？
  答案同樣很簡單：
  這個力隻可能來自繩子相鄰點之間的相互作用。

  每個點把自己隔壁的點“拉”一下，隔壁的點就動了——就跟我們列隊報數的時候隻通知你旁邊的那個人一樣，這種繩子內部之間的力就叫張力。

  又比如我們用力拉一根繩子，我明明對繩子施加了一個力，但是這根繩子為什麽不會被拉長？

  跟我的手最近的那個點為什麽不會被拉動？

  答案自然是這個點附近的點，給這個質點施加了一個相反的張力。

  這樣這個點一邊被拉，另一邊被它鄰近的點拉，兩個力的效果抵消了。

  但是力的作用又是相互的，附近的點給端點施加了一個張力，那麽這個附近的點也會受到一個來自端點的拉力。

  然而這個附近的點也沒動，所以它也必然會受到更裡面點的張力。

  這個過程可以一直傳播下去，最後的結果就是這根繩子所有的地方都會張力。

  通過上面的分析，便可以總結出一個概念：
  當一根繩子靜止在地面的時候，它處於松弛狀態，沒有張力。

  但是當一個波傳到這裡的時候，繩子會變成一個波的形狀，這時候就存在張力了。

  正是這種張力讓繩子上的點上下振動，所以，分析這種張力對繩子的影響就成了分析波動現象的關鍵。

  接著徐雲又在紙上寫下了一個公式：
  F=ma。

  沒錯。

  正是小牛總結出的牛二定律。

  眾所周知。

  小牛第一定律告訴我們“一個物體在不受力或者受到的合外力為0的時候會保持靜止或者勻速直線運動狀態”，那麽如果合外力不為0呢？
  小牛第二定律就接著說了：

  如果合外力F不為零，那麽物體就會有一個加速度a，它們之間的關系就由F=ma來定量描述。

  也就是說。

  如果我們知道一個物體的質量m，只要你能分析出它受到的合外力F。

  那麽我們就可以根據小牛第二定律F=ma，計算出它的加速度a。

  知道加速度，就知道它接下來要怎麽動了。

  隨後徐雲又在函數圖像的某段上隨意取了兩個點。

  一個寫上A，一個寫上B，二者的弧度標注為了△l。

  寫完後將它朝小麥面前一推：
  “麥克斯韋同學，你來分析一下這段區間收到的合外力試試？不考慮重力。”

  小麥聞言一愣，指了指自己，詫異道：
  “我？”

  徐雲點了點頭，心中微微一歎。

  今天他要做的事情對於法拉第、對於電磁學界、或者說大點對於整個人類的歷史進程，都會有著極大的促進意義。

  但唯獨對於小麥和赫茲二人而言，卻未必是個好事。

  因為這代表著有些原本屬於他們的貢獻被抹去了。

  就像某天一個月薪4000的打工人忽然知道自己原本可能成為億萬富翁，結果有個重生者以‘人類共同發展’為由把屬於伱的機會給奪走了，你會作何感想？
  平心而論，有些不公平。

  所以在徐雲的內心深處，他對小麥是有些愧疚感的。

  往後怎麽補償小麥另說，總之在眼下這個過程裡，他能做的便是讓小麥盡可能的進入這些大佬的視線裡。

  當然了。

  小麥並不知道徐雲內心的想法，此時他正拿著鋼筆，刷刷刷的在紙上寫著受力分析：

  “羅峰先生說不考慮重力，那麽，就只要分析波段AB兩端的張力T就行了。”

  “波段AB受到A點朝左下方的張力T和B點朝右上方的張力T，彼此對等。”

  “但波段的區域是彎曲的，因此兩個T的方向並不相同。”

  “假設A點處張力的方向跟橫軸夾角為θ，B點跟橫軸的夾角就明顯不一樣了，記為θ+Δθ。”

  “因為波段上的點在波動時是上下運動，所以只需要考慮張力T在上下方向上的分量。”

  “B點處向上的張力為T·sin（θ+Δθ），A點向下的張力為T·sinθ，那麽，整個AB段在豎直方向上受到的合力就等於這兩個力相減.”

  很快。

  小麥在紙上寫下了一個公式：
  F= T·sin（θ+Δθ）-T·sinθ。

  徐雲滿意的點了點頭，又說道：
  “那麽波的質量是多少呢？”

  “波的質量？”

  這一次。

  小麥的眉頭微微皺了起來。

  如果假設波段單位長度的質量為μ，那麽長度為Δl的波段的質量顯然就是μ·Δl。

  但是，因為徐雲所取的是非常小的一段區間。

  假設A點的橫坐標為x，B點的橫坐標為x+Δx。

  也就是說繩子AB在橫坐標的投影長度為Δx。

  那麽當所取的繩長非常短，波動非常小的時候，則可以近似用Δx代替Δl。

  這樣繩子的質量就可以表示為.
  μ·Δx
  與此同時。

  一旁的基爾霍夫忽然想到了什麽，瞳孔微微一縮，用有些乾澀的英文說道：

  “等等.合外力和質量都已經確定了，如果再求出加速度”

  聽到基爾霍夫這番話。

  原本就不怎麽喧鬧的教室，忽然又靜上了幾分。

  對啊。

  不知不覺中，徐雲已經推導出了合外力和質量！

  如果再推導出加速度
  那麽不就可以以牛二的形式，表達出波在經典體系下的方程了嗎？

  想到這裡。

  幾位大佬紛紛拿出紙筆，嘗試性的計算起了最後的加速度。

  說起加速度，首先就要說說它的概念：
  這個是用來衡量速度變化快慢的量。

  加速度嘛，肯定是速度加得越快，加速度的值就越大。

  比如我們經常可以聽到的“我要加速啦”等等。

  假如一輛車第1秒的速度是2m/s，第2秒的速度是4m/s。

  那麽它的加速度就是用速度的差（4-2=2）除以時間差（2-1=1），結果就是2m/s。

  再來回想一下，一輛車的速度是怎麽求出來的？

  當然是用距離的差來除以時間差得出的數值。

  比如一輛車第1秒鍾距離起點20米，第2秒鍾距離起點50米。

  那麽它的速度就是用距離的差（50-20=30）除以時間差（2-1=1），結果就是30m/s。

  不知道大家從這兩個例子裡發現了什麽沒有？
  沒錯！

  用距離的差除以時間差就得到了速度，再用速度的差除以時間差就得到了加速度，這兩個過程都是除以時間差。

  那麽
  如果把這兩個過程合到一塊呢？

  那是不是就可以說：

  距離的差除以一次時間差，再除以一次時間差就可以得到加速度？

  當然了。

  這只是一種思路，嚴格意義上來說，這樣表述並不是很準確，但是可以很方便的讓大家理解這個思想。

  如果把距離看作關於時間的函數，那麽對這個函數求一次導數：
  就是上面的距離差除以時間差，只不過趨於無窮小，就得到了速度的函數、

  對速度的函數再求一次導數，就得到了加速度的表示。

  鮮為人同學們懂不懂不知道，反正在場的這些大佬們很快便都想到了這一點。

  是的。

  之前所列的函數f(x，t)描述的內容，就是波段上某一點在不同時間t的位置！
  所以只要對對f(x，t)求兩次關於時間的導數，自然就得到了這點的加速度a。

  因為函數f是關於x和t兩個變量的函數，所以只能對時間的偏導f/t，再求一次偏導數就加個2上去。

  因此很快。

  包括法拉第在內，所有大佬們都先後寫下了一個數值：
  加速度a=f/t。

  而將這個數值與之前的合力與質量相結合，那麽一個新的表達式便出現了：

  F= T·sin（θ+Δθ）-T·sinθ=μ·Δxf/t。

  隨後威廉·韋伯認真看了眼這個表達式，眉頭微微皺了些許：
  “羅峰同學，這就是最終的表達式嗎？我似乎感覺好像還能化簡？”

  徐雲點了點頭：

  “當然可以。”

  F= T·sin（θ+Δθ）-T·sinθ=μ·Δxaf/t。

  這是一個最原始的方程組，內容不太清晰，方程左邊的東西看著太麻煩了。

  因此還需要對它進行一番改造。

  至於改造的思路在哪兒呢？

  當然是sinθ了。

  只見徐雲拿起筆，在紙上畫了個直角三角形。

  眾所周知。

  正弦值sinθ等於對邊c除以斜邊a，正切值tanθ等於對邊c除以鄰邊b。

  徐雲又畫了個夾角很小的直角三角形，角度估摸著只有幾度：

  “但是一旦角度θ非常非常小，那麽鄰邊b和斜邊a就快要重合了。”

  “這時候我們是可以近似的認為a和b是相等的，也就是a≈b。”

  隨後在紙上寫到：
  【於是就有c/b≈c/a，即tanθ≈sinθ。】

  【之前的公式可寫成F= T·tan（θ+Δθ）-T·tanθ=μ·Δxaf/t。】

  “稍等一下。”

  看到這句話，法拉第忽然皺起了眉頭，打斷了徐雲。

  很明顯。

  此時他已經隱隱出現了掉隊的跡象：
  “羅峰同學，用tanθ替代sinθ的意義是什麽？”

  徐雲又看了小麥，小麥當即心領神會：

  “法拉第先生，因為正切值tanθ還可以代表一條直線的斜率呀，也就是代表曲線在某一點的導數。”

  “正切值的表達式是tanθ=c/b，如果建一個坐標系，那麽這個c剛好就是直線在y軸的投影dy，b就是在x軸的投影dx。”

  “它們的比值剛好就是導數dy/dx，也就是說tanθ=dy/dx。”

  法拉第認真聽完，花了兩分鍾在紙上演算了一番，旋即恍然的一拍額頭：
  “原來如此，我明白了，請繼續吧，羅峰同學。”

  徐雲點點頭，繼續解釋道：
  “因為波的函數f(x，t)是關於x和t的二元函數，所以我們只能求某一點的偏導數。”

  “那麽正切值就等於它在這個點的偏導數tanθ=f/x，原來的波動方程就可以寫成這樣.”

  隨後徐雲在紙上寫下了一個新方程：

  T（f/xlx+△x-f/xlx）=μ·Δxaf/t。

  看起來比之前的要複雜一些，但現場的這些大佬的目光，卻齊齊明亮了不少。

  到了這一步，接下來的思路就很清晰了。

  只要再對方程的兩邊同時除以Δx，那左邊就變成了函數f/x在x+Δx和x這兩處的值的差除以Δx。

  這其實就是f/x這個函數的導數表達式。

  也就是說。

  兩邊同時除以一個Δx之後，左邊就變成了偏導數f/x對x再求一次導數，那就是f(x，t)對x求二階偏導數了。

  同時上面已經用f/t來表示函數對t的二階偏導數，那麽這裡自然就可以用f/x來表示函數對x的二階偏導數。

  然後兩邊再同時除以T，得到方程就簡潔多了：
  f/x=μf/Tx。

  同時如果你腦子還沒暈的話便會發現
  μ/T的單位.
  剛好就是速度平方的倒數！

  也就是說如果我們把一個量定義成T/μ的平方根，那麽這個量的單位剛好就是速度的單位。

  可以想象，這個速度自然就是這個波的傳播速度v：

  v=T/μ。

  因此將這個值代入之後，一個最終的公式便出現了：

  f/x=f/vx。

  這個公式在後世又叫做
  經典波動方程。

  當然了。

  這個方程沒有沒有考慮量子效應。

  如果要考慮量子效應，這個經典的波動方程就沒用了，就必須轉而使用量子的波動方程，那就是大名鼎鼎的薛定諤方程。

  薛定諤就是從這個經典波動方程出發，結合德布羅意的物質波概念，硬猜出了薛定諤方程。

  沒錯，靠猜的。

  具體內容就先不贅述了，總之這個方程讓物理學家們從被海森堡的矩陣支配的恐懼中解脫了出來，重新回到了微分方程的美好世界。

  如今徐雲不需要考慮量子方面的事兒，因此有經典波動方程就足夠了。

  接著他又在紙上寫下了一道新的公式。

  而隨著這道新公式的寫出，法拉第赫然發現
  自己剩下的那一片硝酸甘油，好像不太夠用了。

  (本章完)