第95章 微積分的故事！

  翌日。

  清晨時分，旭日東升，一抹朝陽落在清華園。

  西院第28號房。

  書房內。

  窗戶染了一層白霜，一縷縷陽光透過窗戶照進無奈，屋內靜謐無聲，一個木製立式黑板搬進了書房。

  “要學微積分，首先你要搞懂微積分是什麽，不能知其然，不知其所以然。”華羅庚立於黑板旁邊，寫下了六個字。

  微積分是什麽。

  “我們先從最基礎的求面積講起，在古希臘時期，阿基米德那個時代人，處於初步發展階段的幾何，數學家們遇到一個棘手且嚴峻的問題，那就是求面積，三角形和正方形這些圖形有面積公式，所以求解很簡單，但問題在於，那些不規則圖形的面積該怎麽求？”

  “例如我現在畫的這條S型曲線，這條曲線圍成的面積需要求解，但沒有公式，這個時候，如何求解一條曲線圍成的面積，就成為了當時數學家們研究的問題。”

  “阿基米德找到了辦法，余華，你知道是什麽辦法嗎？”

  華羅庚目光看向余華。

  “窮竭法，用熟悉的圖形去無限逼近曲線圍成圖形的面積。”余華回答道。

  “對，窮竭法，提出者安提芬，改進者歐多克斯，完善者阿基米德，窮竭法思想就是用無限個熟悉圖形去求一條曲線圍成圖形的面積，在數學史上，窮竭法被視為微積分的前身，且嚴謹性無可挑剔。”

  華羅庚右手握著粉筆，畫出窮竭法的求解過程，用一個個三角形去填充S型曲線所圍成的面積，最終求出面積大小。

  整個過程極為繁瑣，但無比嚴謹。

  華羅庚求解完成，隨即用板刷擦去公式和圖形，又重新寫下一個新的概念，通過矩形求面積：
  “窮竭法沿用到了十七世紀，這一千多年歷史之中，有我國的割圓術求面積，但計算過於複雜，並不適用，窮竭法自身局限性也逐漸明顯，對於不同曲線圍成的面積需要使用不同的圖形去逼近，而不同圖形的證明技巧並不一樣，極為繁瑣，這個時期數學界出現‘用矩形來逼近原圖形’，思想與窮竭法一致，且更加簡單，但矩形求解存在一個問題，那就是失去了嚴謹性，這是一個非常嚴重的情況。”

  嚴謹是數學的靈魂。

  失去簡單性，數學失去很多愚笨者。

  失去嚴謹，數學將會失去一切。

  如果一個定理，一個公式，一個數學常數失去了嚴謹性，那意味著整個數學大廈的崩塌。

  余華全神貫注聆聽，關於華羅庚講解的重點，盡數記入腦海之中，理解程度非常迅速。

  “牛頓和萊布尼茨對於矩形求解存在的問題非常重視，經過這兩位數學家的不懈研究，牛頓和萊布尼茨意外發現了一個關鍵性東西，也就是微積分最基本和最重要的核心思想，那就是微分與積分之間的互逆運算，用數學公式表達為微積分基本定理。”

  華羅庚面容嚴肅，在黑板上寫下了微積分基本定理：“而在此前，微分和積分，還是兩個單獨學科，微分求導數，積分求面積，互不相乾，在牛頓和萊布尼茨的作用下，微積分完整體系建立。”

  微分與積分之間的互逆運算。

  這是微積分的核心，至此，人類文明發展史上極為重要的微積分誕生，微積分基本定理又被稱為牛頓——萊布尼茨公式。

  真是天才……

  余華聆聽了微積分誕生的歷史進程，心中微微感歎，將兩個單獨的學科聯系在一起，並且敏銳發現微分和積分之間的互逆運算，不愧是歷史上兩位最頂尖的大牛。

  互逆運算是什麽概念？
  簡單而言，那就是求面積的問題，可以轉變為求導數，求導數的問題轉變為求面積，互相變換。

  如果積分之路走不通，那就從低維度研究轉變為高維度研究，用微分解決問題。

  如果微分之路走不通，那就從高維度研究轉變為低維度研究，用積分解決問題。

  此外，還可逆向積分求面積。

  若你要問它的意義在哪裡？
  意義非常重要，在於極大程度上縮減了繁瑣的計算過程，簡化計算難度，極大提升數學各分支的發展效率。

  微積分能求的東西實在是太多了，例如微分導數的極值。

  極值非常重要，大炮發射的炮彈飛行極限距離，一船貨物利潤數據，從某地出發到某地之間的那條路線距離最近等等。

  這是科學研究最重要的工具，亦是由人類親自創造的數學武器。

  “當然，這個時候的微積分體系還不算完美，無窮小量問題使得微積分的基礎並不穩固，無窮小量的問題在於通過動態方式來定義極限，一個量在逼近0的過程中，有無數個實數，這樣是行不通的，由此引發第二次數學危機，後來數學家柯西和魏爾斯特拉斯重新定義了極限，至此，微積分的基礎終於穩固，後來由法國數學家勒貝格研究的勒貝格積分，為微積分收官。”

  華羅庚緩緩講述關於微積分和無窮小量之間的關系，轉而在黑板上寫出一串公式，這是勒貝格積分：
  “我在英國劍橋大學留學期間，曾經有幸去了一趟法國，見到勒貝格先生，收益很大，不過，關於微積分在無窮小的領域，我認為還有很大研究價值，日後你可以嘗試一下這個領域，微積分既是數學研究的基礎，更是科學研究的工具，明白嗎？”

  “明白。”余華聽聞，點了點頭，記下華羅庚送給他的一個數學研究方向。

  華羅庚點頭，正色道：“在知道微積分是什麽之後，我們學習起來就更加容易，接下來講函數、導數與極限，第一本書你看了多少？”

  “看完三分之一部分，函數和導數都懂。”余華回應道，昨晚學習時間不長，他只看了《導數與極限》的三分之一。

  “好，那就從極限開始講起。”

  華羅庚聽聞，眼中透出讚賞之色，頓了頓，細細講解：“微積分的極限定義為……”

  (本章完)