由於寫這篇證明龐加萊猜想的論文前就考慮過答辯的問題，所以田立心寫出的論文並不像佩雷德曼原本的論文那樣只有短短的三十頁，而是擴展到了將近三百頁。

理所當然的，這之中必然加入了許多曹懷西教授和朱西平教授的補充論文中的觀點。

也因此，田立心做的報告已經過去了兩個小時，卻還沒有任何結束的跡象。

照著PPT，田立心不但完整地闡述了自己的證明思路，還補齊了論文中部分省略部分以及容易引起歧義的內容，使得整個證明過程顯得更加完整、邏輯更加嚴密。

盡管如此，在座的大部分人也只能是在看熱鬧，畢竟這些人裡真正研究龐加萊猜想的並不多，他們知道有這個猜想，或許還是因為上個月公布的千禧年大獎問題。

其中的少部分人，如邱院士、漢密爾頓教授、瑟斯頓教授、曹懷西教授等這些研究龐加萊猜想的人，則都漸漸地沉浸其中了。

台上，田立心還在一邊翻著PPT，一邊演講著。

“所謂黎曼度量，就是定義在流形上的一種數據結構，使得我們可以確定任意兩點間的最短測地線，黎曼度量自然誘導了流形的曲率，曲率是表征空間彎曲的一種精確描述。給定曲面上三個點，我們用測地線連接它們成一個測地三角形，如果曲面為歐幾裡德平面，那麽測地三角形內角和為180度，球面測地三角形的內角和大於180度，馬鞍面的測地三角形的內角和小於180度，測地三角形內角和與180度的差別就是三角形的總曲率……”

“瑟斯頓教授提出了石破天驚的幾何化猜想:所有的素三維流形可以配有標準黎曼度量，從而具有八種幾何中的一種。特別地，單連通的三維流形可被配有正的常值曲率度量，配有正的常值曲率的三維流形必為三維球面，因此龐加萊猜想是瑟斯頓幾何化猜想的一個特例……”

“如果黎曼度量依隨時間變化，度量的變化率和曲率成正比，那麽曲率就像溫度一樣擴散，逐漸變得均勻，直至變成常數，在三維流形情形，在有限時間內，流形的某一點處，曲率有可能趨向於無窮，這種情況被稱為是曲率爆破(blowup)，爆破點被稱為是奇異點()……”

“先引入一些記號，M是帶手術的流，Mt是M的t時刻截面，Mreg代表M上所有的正則點。設T是奇異時間，則Mt-，Mt+分別表示手術前和手術後的極限的流形，如果不是奇異時間，當然兩者相等…….”

……

“定義5.16 帶截斷的流。設a>0，M為定義在區間【a，b】上帶手術的流，滿足前面的先設條件。設δ:【a，b】->(0，+∞)為非遞增函數，則(r，δ)截斷的流滿足下列條件:

1，M滿足δ夾逼條件。

2，在每個奇異時間，Mtk+由下面的操作通過Ω=Mtk-得到:

A，丟掉不與Ωp(p=δ(tk)r(tk)相交的連通分支。

B，對每個在Ωj裡的ε角Hij，找到(Xij，Tk)使得……”

……

“定理5.17 存在遞減的序列0