愛因斯坦47狹義相對論第6-7部分

　　論文《論動體的電動力學》的6-10部分歸為第二大部分電動力學部分，第六部分題為《關於空虛空間麥克斯韋-赫茲方程的變換，關於磁場中由運動所產生的電動力的本性》，這一部分采用公式10的洛倫茲變換方程對麥克斯韋-赫茲方程進行了坐標代入處理。

　　首先，對靜系K成立的、描述電磁現象的麥克斯韋-赫茲方程為方程17，包含6個方程:

　　(1/V)·?X/?t=?N/?y-?M/?z，

　　(1/V)·?Y/?t=?L/?z-?N/?x，

　　(1/V)·?Z/?t=?M/?x-?L/?y，

　　(1/V)·?L/?t=?Y/?z-?Z/?y，

　　(1/V)·?M/?t=?Z/?x-?X/?z，

　　(1/V)·?N/?t=?X/?y-?Y/?x。

　　其中，(X，Y，Z)表示電力的矢量，(L，M，N)表示磁力的矢量。

　　其次，將公式10的洛倫茲變換方程代入方程17，則對動系k(與靜系相對速度為v)成立的麥克斯韋-赫茲方程變為方程18，包含6個方程:

　　(1/V)·?X/?τ=?β(N-υ/V·Y)/?η-?β(M+υ/V·Z)/?z，

　　(1/V)·?β(Y-υ/V·N)/?τ=?L/?z-?β(N-υ/V·Y)/?ξ，

　　(1/V)·?β(Z+υ/V·M)/?τ=?β(M+υ/V·Z)/?ξ-?L/?η，

　　(1/V)·?L/?τ=?β(Y-υ/V·N)/?z-?β(Z+υ/V·M)/?η，

　　(1/V)·?β(M+υ/V·Z)/?τ=?β(Z+υ/V·M)/?ξ-?X/?z，

　　(1/V)·?β(N-υ/V·Y)/?τ=?X/?η-?β(Y-υ/V·N)/?ξ。

　　其中，β=1/√[(1-υ2/V2)]。

　　再次，根據相對性原理的要求(注:物理體系的狀態據以變化的定律，同描述這些狀態變化時所參照的坐標系究竟是用兩個在互相勻速移動著的坐標系中的哪一個並無關系。)，在動系k中分別由那些在帶電體和磁體上的有質動力作用來定義的電力矢量(X′，Y′，Z′)和磁力矢量(L′，M′，N′)對方程19成立，包含6個方程:

　　(1/V)·?X′/?τ=?N′/?η-?M′/?z，

　　(1/V)·?Y′/?τ=?L′/?z-?N′/?ξ，

　　(1/V)·?Z′/?τ=?M′/?ξ-?L′/?η，

　　(1/V)·?L′/?τ=?Y′/?z-?Z′/?η，

　　(1/V)·?M′/?τ=?Z′/?ξ-?X′/?z，

　　(1/V)·?N′/?τ=?X′/?η-?Y′/?ξ。

　　對比方程18和方程19，愛因斯坦在論文中評述說:“顯然，為k系所求得的上面這兩個方程組必定表達完全同一回事，因為這兩個方程組都相當於K系的麥克斯韋-赫茲方程。此外，由於兩組裡的各個方程，除了代表矢量的符號以外，都是相一致的，因此，在兩個方程組裡的對應位置上出現的函數，除了一個因子Ψ(v)之外，都應當相一致，而Ψ(v)這因子對於一個方程組裡的一切函數都是共同的，並且同ε，η，ζ和τ無關，而隻同v有關。”

　　經過上面的這段論述，通過對比方程18和方程19，愛因斯坦得出了方程20:

　　X′=Ψ(υ)·X，L′=Ψ(υ)·L，

　　Y′=Ψ(υ)·β(Y-υ/V·N)，M′=Ψ(υ)·β(M+υ/V·Z)，

　　Z′=Ψ(υ)·β(Z+υ/V·M)，N′=Ψ(υ)·β(N-υ/V·Y)。

　　由動系k變到靜系K[以Ψ(-υ)表示]和目前由論文上述方程描述的由靜系K變到動系k[以Ψ(υ)表示]互為逆變換，如此得到的兩組方程組是恆等關系，因此，Ψ(υ)·Ψ(-υ)=1。

　　[注:求解函數Ψ(υ)的過程，《愛因斯坦全集》此處用的函數代碼 j(υ)，如果筆者沒理解錯論文的意思，此處的函數代碼 j(υ)寫錯了，應該是Ψ(υ)。]

　　由於對稱性，則由關系式Ψ(υ)=Ψ(-υ)。

　　因此，Ψ(υ)=1，則方程20變為方程21:

　　X′=X，L′=L，

　　Y′=β(Y-υ/V·N)，M′=β(M+υ/V·Z)，

　　Z′=β(Z+υ/V·M)，N′=β(N-υ/V·Y)。

　　方程21便是論文第六部分得出的最後方程，也就是愛因斯坦狹義相對論對電動力學方程的改造結果之一，接著，愛因斯坦對相對論性電動力學方程21進行了相對論思維下的解釋。

　　設有一個點狀電荷，當它在靜系K中量度時，電荷的量值是1，根據相對性原理，在動系k中量度時，這個電荷的量值也應該是1。如果這個電荷相對於靜系是靜止的，那麽按照定義，矢量(X，Y，Z)就等於作用在它上面的力。如果這個電荷相對於動系是靜止的(至少在有關的瞬時)，那麽作用在它上面的力，在動系中的量應等於矢量(X′，Y′，Z′)。由此，上面方程中的前面三個量，在文字上可以用如下兩種方式來表述:

　　1.如果一個單位點狀電荷在一個電磁場中運動，那麽作用在它上面的，除了電力，還有一個“電動力”，要是我們略去v/V的二次以及更高次冪所乘的項，這個電動力就等於單位電荷的速度同磁力的矢積除以光速。(舊的表述方式，方程17。)

　　2、如果一個單位點狀電荷在一個電磁場中運動，那麽作用在它上面的力就等於在電荷所在處出現的一種電力，這個電力是我們把電磁場變換到同單位電荷相對靜止的一個坐標系上去時所得出的。(新的表述方式，方程21。)

　　對於磁動力也是類似的表述，做完這番論述後，在第六部分的最後，愛因斯坦做了總結似的論斷:

　　“我們看到，在所闡述的這個理論中，電動力隻起著一個輔助概念的作用，它的引入是由於這樣的情況:電力和磁力都不是獨立於坐標系的運動狀態而存在的。

　　同時也很明顯，開頭所講的，那種在考查由磁體同導體的相對運動而產生電流時所出現的不對稱性，現在是不存在了。而且，關於電動力學的電動力的‘位置’問題(單極電機)，現在也不成為問題了。”

　　至此，論文《論動體的電動力學》論述電動力學的第一部分，也就是全文正文的第六部分就正式結束了，接下來，第七部分題為《多普勒原理和光行差的理論》，這一部分采用公式10的洛倫茲變換方程對描述電動力波源的方程進行了坐標代入處理，得出了相應的結論，解釋了多普勒原理和光行差現象。

　　多普勒原理即多普勒效應，是為紀念奧地利物理學家及數學家克裡斯琴·約翰·多普勒(1803年11月29日-1853年3月17日)而命名的，他於1842年首先提出了這一理論。主要內容為物體輻射的波長因為波源和觀測者的相對運動而產生變化。在運動的波源前面，波被壓縮，波長變得較短，頻率變得較高(藍移);在運動的波源後面時，會產生相反的效應。波長變得較長，頻率變得較低(紅移);波源的速度越高，所產生的效應越大。根據波紅(或藍)移的程度，可以計算出波源循著觀測方向運動的速度。恆星光譜線的位移顯示恆星循著觀測方向運動的速度，除非波源的速度非常接近光速，否則多普勒位移的程度一般都很小。所有波動現象都存在多普勒效應。

　　光行差(或稱為天文光行差、恆星光行差)是指運動的觀測者觀察到光的方向與同一時間同一地點靜止的觀測者觀察到的方向有偏差的現象。光行差現象在天文觀測上表現得尤為明顯。由於地球公轉、自轉等原因，地球上觀察天體的位置時總是存在光行差，其大小與觀測者的速度和天體方向與觀測者運動方向之間的夾角有關，並且在不斷變化。在一年內，恆星似乎圍繞它的平均位置走出一個小橢圓，這個現象在1729年由英國天文學家詹姆斯·布拉德雷(1693年3月-1762年7月13日)發現，並被他用來測量光的速率。

　　在論文《論動體的電動力學》中，愛因斯坦采用自己的新理論——狹義相對論嘗試解釋了多普勒原理和光行差現象。首先，設定在靜系K中離坐標原點很遠的地方有一電動力波源，則在包括坐標原點在內的一部分空間裡的波以方程22表示:

　　X=X0sinΦ，L=L0sinΦ，

　　Y=Y0sinΦ，M=M0sinΦ，

　　Z=Z0sinΦ，N=N0sinΦ，

　　Φ=w[t-(ax+by+cz)/V]。

　　其中，(X0，Y0，Z0)和(L0，M0，N0)是規定波列的振幅的矢量，a、b、c是波面法線的方向余弦，w是波的頻率。

　　通過第六部分得出的電力磁力的變換方程21和第三部分的公式10洛倫茲變換方程對方程22處理，可得由動系k角度考察描述上述波列的方程23:

　　X′=X0sinΦ′，L′=L0sinΦ′，

　　Y′=β(Y0-υ/V·N0)sinΦ′，M′=β(M0+υ/V·Z0)sinΦ′，

　　Z′=β(Z0+υ/V·M0)sinΦ′，N′=β(N0-υ/V·Y0)sinΦ′，

　　Φ′=w′[τ-(a′ξ+b′η+c′z)/V]，

　　w′=wβ(1-a·υ/V)，

　　a′=(a-υ/V)/(1-a·υ/V)，

　　b′=b/[β(1-a·υ/V)]，

　　c′=c/[β(1-a·υ/V)].

　　由方程23的 w′=wβ(1-a·υ/V)可知，如果有一觀察者以速度v相對於一個在無限遠處頻率為 n的光源運動，並且參照於一個同光源相對靜止的坐標系，“光源-觀察者”連線同觀察者的速度相交成 j角，那麽，觀察者所感知的光的頻率 n′由公式24決定:

　　n′=n·[1-(υ/V)·cosj]/√[(1-υ2/V2)]

　　(注:a、b、c是波面法線的方向余弦， 將a=cosj代入 w′=wβ(1-a·υ/V)即得公式24。)

　　公式24就是多普勒原理的解釋公式，特別是當“光源-觀察者”連線同觀察者的速度相交成 j角為0時，cosj=1，則公式24變為公式25:

　　n′=n·√[(1-υ/V)/(1+υ/V)]。

　　把動系中的波面法線(光線的方向)同“光源-觀察者”連線之間的交角叫做 j′，由方程23的 a′=(a-υ/V)/(1-a·υ/V)可得公式26:

　　cosj′=(cosj-υ/V)/(1-cosj·υ/V)

　　愛因斯坦評價說公式26以最一般的形式表述了光行差定律，特別是當 j=π/2時，cos j′=0，公式26就取簡單形式: cosj′=-υ/V。

　　之後，愛因斯坦又給出了動系k中的電力或磁力的振幅A′公式27:

　　A′2=A2·[1-(υ/V)·cosj]2/[(1-υ2/V2)]

　　當 j角為0時，cos j=1，公式27就變為公式28:

　　A′2=A2·(1-υ/V)/(1+υ/V)

　　之後，愛因斯坦以一句評述結束了論文《論動體的電動力學》的第七部分:“從這些已求得的方程得知，對於一個以速度V(注:即公式中的參照系相對速度v為光速V時)向光源接近的觀察者，這光源必定顯得無限強烈。”