愛因斯坦46狹義相對論第4-5部分

　　第四部分題為《關於運動剛體和運動時鍾所得方程的物理意義》，這一部分應用第三部分導出的公式10，即洛倫茲變換分析了兩個問題，一是剛體因運動而變形，二是時間因運動而變慢。

　　首先是剛體因運動而變形，設剛性球靜止時半徑為R，其相對於動系k是靜止的，球體中心在動系k坐標原點上，則剛性球相對於靜系K運動速度為v，由動系k考察，其球面方程為:ξ2+η2+ζ2=R2

　　由靜系K考察，應用公式10的洛倫茲變換公式，t=0時，剛性球球面方程為:

　　x2/√[(1-υ2/V2)]+y2+z2=R2

　　對比動系k和靜系K中同一個剛性球的球面方程可知:一個在靜止狀態量起來是球形的剛體，在運動狀態——從靜系看來——則具有旋轉橢球的形狀了，其橢球的軸是 R√[(1-υ2/V2)]，R，R。對此，愛因斯坦在論文中評述道:

　　“這樣看來，球(因而也可以是無論什麽形狀的剛體)的Y方向和Z方向的長度不因運動而改變，而X方向的長度則好像以 1:√[(1-υ2/V2)]的比率縮短了，v愈大，縮短得就愈厲害。對於v=V，一切運動著的物體——從“靜“系看來——都縮成扁平的了。對於大於光速的速度，我們的討論就變得毫無意義了;此外，在以後的討論中，我們會發現，光速在我們的物理理論中扮演著無限大速度的角色。

　　很顯然，從勻速運動著的坐標系看來，同樣的結果也適用於靜止在‘靜’系中的物體。”

　　下一個分析問題是時間因運動而變慢，設有若乾隻鍾，當它們同靜系相對靜止時，它們能夠指示靜系時間t;而當它們同動系相對靜止時，就能夠指示動系時間τ。把其中一隻鍾放到動系k的坐標原點上，則根據公式10的變換方程，其滿足下列方程:τ=(t-x·υ/V2)/√[(1-υ2/V2)]。

　　將x=vt代入上式得公式11:τ=t·√[(1-υ2/V2)]=t-{1-√[(1-υ2/V2)]}t。

　　由公式11可知，這隻鍾所指示的時間(在靜系K中看來)每秒鍾要慢 1-√[(1-υ2/V2)]秒，級數展開後略去第4級和更高級的小量則慢υ2/2V2秒。

　　在論文中，愛因斯坦對公式11給出的結果發表了三段連續的評論，討論了時鍾也就是時間因運動而變慢的三種情況:

　　“從這裡產生了如下的奇特後果。如果在K系的A點和B點上各有一只在靜系看來是同步運行的靜止的鍾，並且使A處的鍾以速度v沿著AB連線向B運動，那麽當它到達B時，這兩隻鍾不再是同步的了，從A向B運動的鍾要比另一隻留在B處的鍾落後 tυ2/2V2秒[不計第4級和更高級的(小)量]，t是這隻鍾從A到B所花費的時間。

　　我們立即可見，當鍾從A到B是沿著一條任意的折線運動時，上面這結果仍然成立，甚至當A和B這兩點重合在一起時，也還是如此。

　　如果我們假定，對於折線證明的結果，對於連續曲線也是有效的，那麽我們就得到這樣的命題:如果A處有兩隻同步的鍾，其中一隻以恆定速度沿一條閉合曲線運動，經歷了t秒後回到A，那麽，比起那只在A處始終未動的鍾來，這隻鍾在它到達A時，要慢 tυ2/2V2秒。由此，我們可以斷定:在赤道上的擺輪鍾，比起放在兩極的另一只在性能上完全一樣的鍾來，在別的條件都相同的情況下，它要走得慢些，不過所差的量非常之小。”

　　發表完這三段議論後，論文第四部分關於剛體因運動而變形和時間因運動而變慢的討論就結束了。第五部分題為《速度的加法定理》，這一部分主要應用公式10的變換公式，改寫了伽利略速度疊加公式。

　　論文這一部分首先設定一個質點在動系k(動系k坐標軸為ΞHZ)中以速度 w運動，其速度在Ξ軸和H軸的分量不為0，Z軸速度分量為0，則其運動方程為公式12:

　　ξ=wξ·τ，

　　η=wη·τ，

　　z=0。

　　其中， wξ和 wη都表示常數。其實 wξ和 wη就是速度 w在Ξ軸和H軸的速度分量。

　　將公式10洛倫茲變換公式代入公式12，可得公式13:

　　x=[(wξ+υ)/(1+υ·wξ/V2)]·t，

　　y={wη·√[(1-υ2/V2)]/(1+υ·wξ/V2)}·t，

　　z=0。

　　由速度的平行四邊形疊加法則，從靜系K考察，質點速度U由公式14決定:

　　U2=(dx/dt)2+(dy/dt)2。

　　其中，由公式13對t求導可知，= dx/dt=(wξ+υ)/[(1+υ·wξ/V2)]，

　　= dy/dt=√[(1-υ2/V2)]/(1+υ·wξ/V2)。

　　由速度的平行四邊形疊加法則和三角函數可知:

　　w2=wξ2+wη2，wξ=w·cosα，wη=w·sinα。

　　其中，α為動系k相對於靜系K的速度v和質點速度 w之間的交角。

　　將上述導數和速度值代入公式14可得公式15:

　　U=√{[(υ2+w2+2υw·cosα)-(υw·sinα)2]/[1+υw·cosα/V2]}

　　特別情況下，當質點速度 w方向為動系中的Ξ軸或者靜系中的X軸時， 交角α為0°，即動系k相對於靜系K的速度v和質點速度 w同向時，公式15變為公式16:

　　U=(υ+w)/(1+υw/V2)。

　　由公式16可知，由兩個小於光速V的速度合成而得的速度總是小於光速，具體證明如下，設υ=V-k，w=V-l，代入公式16則為:

　　U=V(2V-k-l)/(2V-k-l+kl/V)

　　同時，由公式16還可以看出，光速V不會因為同一個“小於光速的速度”合成起來而有所改變，依然為光速V。設動系k相對於靜系K的速度v為光速V，將其代入公式16可得:

　　U=(υ+w)/(1+w/V)=V。

　　在第五部分的最後，愛因斯坦還提到了另一種速度變換的情況，引入第三個坐標系k′，其原點在動系k的Ξ軸以速度 w運動，則靜系K與第三個坐標系k′的關系也可以用公式10的洛倫茲變換處理，與動系k的區別僅僅是將動系k相對於靜系K的速度v改為公式16算出的U即可。也就是說動系k原點相對於靜系K速度為v，第三個坐標系k′原點相對於靜系K的速度為 U=(υ+w)/(1+υw/V2)。

　　討論完上面的幾種速度變換後，愛因斯坦以一句話結束了論文第五部分，也結束了論文的第一大部分運動學部分，並預告下面的部分討論第二大部分電動力學部分:“我們現在已經依照我們的兩條原理推導出運動學的必要命題，我們要進而說明它們在電動力學中的應用。”