愛因斯坦45狹義相對論第3部分洛倫茲變換

　　第三部分題為《從靜系到另一個相對於它做勻速移動的坐標系的坐標和時間的變換理論》，這一部分是論文，也是狹義相對論的核心理論推導環節，推導出了著名的洛倫茲變換。

　　在這一部分，愛因斯坦首先設定靜系K坐標軸為XYZ，以其衡量的質點坐標值為xyz和對靜系同步的時間t(同步方法為第一部分提出的同時性或同步性判定方法tB-tA=tA′-tB)，動系k坐標軸為ΞHZ，以其衡量的質點坐標值為εηζ和對動系同步的時間τ。兩個坐標系的X軸和Ξ軸重合，YZ軸和HZ軸平行，動系k坐標系相對於靜系K坐標系以速度v沿X軸x值增加方向移動。

　　設靜系K中一質點x′運動方程為:x′=x-vt(注:即動系坐標x′=靜系坐標x-vt，或者靜系坐標x-動系坐標x′=vt，這便是靜系和動系參照系設定的條件，物理意義便是對動系來說靜止的質點，對靜系來說卻以速度v運動)，則質點相對於動系k來說為靜止狀態(注:即動系坐標x′隨時間不變化，為定值)，動系時間τ為空間坐標和時間坐標值x′、y、z和t的函數。

　　做完上述設定後，愛因斯坦設計了思想實驗，著重從動系k角度分析了動系時間τ。設從動系k系的原點(此處設定靜系和動系坐標系原點在靜系時間t時，即動系時間τ0時，重合)在動系時間τ0發射一道光線，沿著X軸(Ξ軸)射向x′，在動系時間τ1時從x′那裡反射回動系k坐標系的原點，而在動系時間τ2時到達，則有下列公式2:(τ0+τ2)/2=τ1

　　(注:由於質點x′對動系k來說是靜止的，所以從動系k角度衡量，公式2肯定成立。)

　　引入τ為x′、y、z和t的函數的設定和光速不變原理，從靜系考察可將公式2具化為公式3:

　　{τ(0，0，0，t)+τ[0，0，0，(t+x′/(V-υ)+x′/(V+υ))]}=τ[x′，0，0，t+x′/(V+υ)]

　　[注:τ0為τ(0，0，0，t)，即動系時間τ0從動系k衡量其空間坐標為0，0，0，時間為靜系時間t，類似第二部分最後驗證是否同時的公式1中的tA;

　　Τ2為τ[0，0，0，()(t+x′/(V-υ)+x′/(V+υ))]，即動系時間τ2從動系k衡量其空間坐標為0，0，0，時間為靜系時間 t+x′/(V-υ)+x′/(V+υ)，算法參照第二部分最後驗證是否同時的公式1，類似tA′;

　　Τ1為τ(x′，0，0， t+x′/(V+υ))，即動系時間τ1從動系k衡量其空間坐標為x′，0，0，時間為靜系時間 t+x′/(V+υ)，算法參照第二部分最後驗證是否同時的公式1，類似tB。]

　　將公式3對x′求導，得公式4:

　　1/2[1/(V-υ)+1/(V+υ)]·?τ/?t=?τ/?x′+1/(V-υ)·?τ/?t，即?τ/?x′+υ/(V2-υ2)·?τ/?t=0。

　　[注:τ(0，0，0，t)對x′求導為0;

　　τ[0，0，0，( t+x′/(V-υ)+x′/(V+υ))]對x′求導(多元複合函數求導)為[1/(V-υ)+1/(V+υ)]·?τ/?t;

　　τ(x′，0，0， t+x′/(V+υ))對x′求導(多元複合函數求導)為?τ/?x′+1/(V-υ)·?τ/?t。]

　　推導到公式4這，愛因斯坦在論文中對選擇坐標原點為光線出發點做了一句說明:“應當指出，我們可以不選坐標原點，而選任何別的點作為光線的出發點，因此剛才所得到的方程(注:公式4)對於x′、y、z的一切數值都該是有效的。”

　　由於質點x′在靜系的YZ軸以及動系的HZ軸都沒有運動，相對於這幾個坐標軸為靜止狀態，所以?τ/?y=0和?τ/?z=0，愛因斯坦論文中對這兩個關系給出的說明為:“做類似的考察用在H軸和Z軸上並且注意到，從靜系看來，光沿著這些軸傳播的速度始終是√(V2-υ2)，這就得到:?τ/?y=0，?τ/?z=0。”

　　(注:考察H軸或Y軸過程為:設從動系k系的原點在動系時間τ0發射一道光線，沿著H軸射向質點y，在動系時間τ1時從y那裡反射回動系k坐標系的原點，而在動系時間τ2時到達，則有下列公式:(τ0+τ2)/2=τ1。

　　引入τ為x′、y、z和t的函數的設定和光速不變原理，此處，從動系k考察τ0τ1τ2空間坐標分別為(0，0，0)、(0，y，0)和(0，0，0);

　　時間坐標由靜系K具體考察τ1如下，由靜系K看來，光線沿動系H軸傳播的軌跡為斜線，斜線方向光速為V，即愛因斯坦在論文中強調的從靜系Y軸考察此處光速為√(V2-υ2)，X軸或Ξ軸方向運動距離為v(τ1-τ0)，H軸運動距離為y，則根據勾股定理斜線方向移動距離=[v(τ1-τ0)2+y2]的開方，根據斜線方向光速為V，則τ1-τ0=√[v(τ1-τ0)2+y2]/V，整理得τ1-τ0=y/√(V2-v2)，則τ1時刻時間坐標由靜系考察為t+y/√(V2-v2);

　　時間坐標由靜系K具體考察τ2如下，由靜系K看來，光線沿動系H軸傳播的軌跡為斜線，斜線方向光速為V，X軸或Ξ軸方向運動距離為v(τ2-τ1)，H軸運動距離為y，則根據勾股定理斜線方向移動距離=√[v(τ1-τ0)2+y2]，根據斜線方向光速為V，則τ2-τ1=√[v(τ2-τ1)2+y2]/V，整理得τ2-τ1=y/√(V2-v2)，結合上面的τ1-τ0=y/√(V2-v2)，則τ2時刻時間坐標由靜系考察為t+y/√(V2-v2)+y/√(V2-v2)，即τ2=t+2y/√(V2-v2);

　　將上面的空間坐標和時間坐標代入(τ0+τ2)/2=τ1，可得:1/2{τ(0，0，0，t)+τ[0，0，0，t+2y/√(V2-v2)]}=τ(0，y，0，t+y/√(V2-v2))

　　將上式對y求導可得:1/2[0+?τ/?t·2/√(V2-v2)]=?τ/?y+?τ/?t·1/√(V2-v2)，即?τ/?t/√(V2-v2)=?τ/?y+?τ/?t/√(V2-v2)，減去左右兩邊相同項則得?τ/?y=0，同樣過程可得?τ/?z=0。)

　　求解偏微分方程公式?τ/?x′+υ/(V2-υ2)·?τ/?t=0，?τ/?y=0和?τ/?z=0，可得公式5:

　　τ=a[t-υx′/(V2-υ2)]

　　其中，a為未知函數ψ(υ)。

　　(注:由公式4可知τ是線性函數，設τ=at+bx′，將其代入公式4:?τ/?x′+υ/(V2-υ2)·?τ/?t=0，求出b=-avx′/(V2-v2)，將其代入τ=at+bx′，可得τ=a[t-υx′/(V2-υ2)]，此處的a還不是公式5中的a，只是未知數代號習慣用法時偶然用了相同的代號而已，τ=at+bx′完全可以寫成τ=ct+dx′，不影響結果。而且這裡只是根據公式4求出的τ，嚴格來說還沒有加入?τ/?y=0和?τ/?z=0的步驟，因為他們導數為0，積分為0，所以τ對x′，y，z三個變量的積分等於τ=a[t-υx′/(V2-υ2)]。

　　同時，在這一部分的討論開始階段，愛因斯坦就直接提出了空間坐標和時間坐標變換的方程為線性方程:“首先，這些方程顯然應當都是線性的，因為我們認為空間和時間是具有均勻性的。”)

　　求出動系k的時間τ公式5後，愛因斯坦接著以其為基礎考察了動系的坐標值εηζ，具體過程如下，在時間τ=0時向ε增加的方向發射出去的一道光線，其方程為:ε=Vτ= aV[t-υx′/(V2-υ2)]。

　　從靜系K中量度，這道光線以速度V-v相對於動系k的原點運動著(注:根據光速不變，光線相對於靜系K速度為V，動系k的原點相對於靜系K速度為v，則從靜系K考察光線相對於動系k的原點速度為V-v)，因此得到:t=x′/(V-v)，將其代入上面的公式可得公式6:ξ=ax′V2/(V2-υ2)

　　用類似的方法，考察沿著另外兩根軸走的光線，可知η=Vτ=aV·[t-x′υ/(V2-υ2)]，其中 y/(√(V2-υ2)=t)

　　(注:從靜系Y軸Z軸考察光線沿著動系H軸Z軸傳播時速度為√(V2-υ2)。)

　　x′=0

　　(注:光線沿著動系H軸Z軸傳播時從動系考察其坐標原點Ξ軸坐標值x′為0。)

　　將√(V2-υ2)=t和x′=0代入上述公式，可得公式7:η=ayV/√(V2-υ2)

　　同樣考察過程可得公式8:ζ=azV/√(V2-υ2)

　　代入x′=x-vt，可得下列關系式9:

　　τ=ψ(υ)β(t-xυ/V2)，

　　ξ=ψ(υ)β(x-υt)，

　　η=ψ(υ)y，

　　ζ=ψ(υ)z。

　　其中，β=1/√[1-(υ/V)2]，ψ(υ)為未知函數。

　　(注:直接代入x′=x-vt得出的關系式具體關系式9′為:

　　τ=a·(t-xυ/V2)/[ 1-(υ/V)2];

　　ε=a·(x-υt)/[ 1-(υ/V)2];

　　η=a· 1/√[1-(υ/V)2]·y;

　　ζ=a· 1/√[1-(υ/V)2]·z。

　　將上述結果都除以因子 1/√[1-(υ/V)2]便得出了上述的關系式9，而且簡單說所謂的未知函數ψ(υ)就是a· 1/√[1-(υ/V)2]。)

　　得出關系式9後，愛因斯坦在論文中又大段討論了未知函數ψ(υ)如何確定，設計了t=τ=0時，靜系動系坐標原點重合的情況下，從原點發射光球面波的坐標方程為 x2+y2+z2=V2t2和ξ2+η2+ζ2=V2τ2，由此做出了光速不變原理和狹義相對性原理對靜系和動系坐標系同時成立的結論;

　　又引入了第三個坐標系K′，相對於動系k的Ξ軸平行移動，其坐標原點在Ξ軸以-v速度移動，t=0時，靜系K動系k和第三坐標系K′原點重合，t=x=y=z=0時，K′的時間t′為0，通過兩次運用變換方程得到下列關系式:

　　t′=ψ(-υ)β(-υ)(τ+ξυ/V2)=ψ(υ)ψ(-υ)t，

　　x′=ψ(-υ)β(-υ)(ξ+υτ)=ψ(υ)ψ(-υ)x，

　　y′=ψ(-υ)η=ψ(υ)ψ(-υ)y，

　　z′=ψ(-υ)ζ=ψ(υ)ψ(-υ)z。

　　對上述關系式，愛因斯坦在論文中還做了文字說明:“由於x′，y′，z′同x，y，z之間的關系中不含有時間t，所以K同K′這兩個坐標系是相對靜止的，而且，從K到K′的變換顯然也必定是恆等變換。因此:ψ(υ)ψ(-υ)=1。”

　　之後，加入了垂直於軸運動的杆由於對稱的緣故，在靜系中量得的長度顯然必定隻同運動的速度有關，而同運動的方向和指向無關的說法，最終討論論證關系式ι/ψ(υ)=ι/ψ(-υ)，由此，得出ψ(υ)=1，關系式9則變為關系式10(即洛倫茲變化公式):

　　τ=β(t-xυ/V2)，

　　ξ=β(x-υt)，

　　η=y，

　　ζ=z。

　　β=1/√[(1-υ2/V2)]

　　其實，在不太專業或者學術上也不太嚴謹的筆者看來，由關系式9(甚至關系式9′)可以直接得出關系式10，因為論文中設定的靜系K和動系k的關系直觀的決定了η=y和ζ=z，只要將η=y或ζ=z代入關系式9(甚至關系式9′)，就可以直接得到公式10的洛倫茲變換公式。

　　得到公式10，即狹義相對論提出之前就已由洛倫茲導出的關系式後，論文第三部分就正式結束了，這也是論文理論推導中最核心的部分，論文剩下的部分就是對公式10的應用，將它們代入不同的運動學和電動力學公式，便得出了狹義相對論性的相關方程。