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《數學屋》第37章4邊形的面積
  算了,我不介紹了。她還是古玉。埃斯皮諾薩不耐煩地說。

  古玉輕飄飄地走了進來,說:不好意思,我又來了。我們知道求面積是數學中一類難題。即使是最簡單的三角形的面積也不容易求解,更別說其他複雜的多邊形。我們也不討論複雜的多邊形,就只是說四邊形。大家以為四邊形的面積應該如何求解呢?小尼,你說說吧!

  小尼說:一邊乘以不是對角的三個內角的正弦值就是四邊形的面積。

  古玉說:當四邊形是長方形時,豈不是有兩種情況?而且每種情況得出的結果都小於正確值。艾麗西亞,你呢?

  艾麗西亞略微沉思後就說:四邊乘以它們對應的正弦值。

  古玉說:倒是不錯的想法。我來驗證一下。當四邊形是正方形時而且邊長是一就能滿足。不是一的話,就是正確值的平方。如果這個公式可以來平方或許可以。那麽,埃斯皮諾薩呢?

  他說:連接四邊形的兩個對頂點,四邊形就被分成兩個三角形了。根據三角形的面積公式,則有二分之一的兩相鄰的邊乘以它們夾角的正弦值再加上二分之一的其他兩邊乘以它們夾角的正弦值。

  古玉感慨道:我過去也是這麽想的。這的確是個好方法。過了這麽久,小尼你想到新的方法嗎?

  小尼一副自信的樣子:當然。我們知道四邊形有兩條對角線。對角線的交點有什麽性質呢?我覺得四條小對角線與四邊形的四條邊對應成比例。四個三角形的三條邊都知道,求出它們的面積應該不是難事。然後,把四個小三角形的面積加起來就可以了。

  古玉又問:艾麗西亞呢,想到什麽新的沒有?

  她說:四邊形的周長乘以四邊的積再乘以四邊正弦值。

  古玉不耐煩地說:你這個算式既簡單又複雜。雖然我沒有算過,但是我也知道它是不對的。當然把周長和面積聯系起來,你不是第一個。在海倫的三角形面積公式裡,就有周長充當重要角色。還有,各條邊的積代表什麽的確是值得思考的。不過,可以肯定的是四邊的積當四邊都是整數時是大於四邊形的面積的。四邊正弦值的積又代表什麽更是值得思考的。我本能地覺得它一定和四邊形面積有關。

  那麽,埃斯皮諾薩有什麽?

  他說:對角線的乘積的二分之一。在四邊形是正方形時是符合的。而且對角線的乘積不也是值得思考的方面嗎?

  三人都說:確實。

  古玉說:我看大家都把自己所有知道的都說出來了,我就不再讓大家繼續說下去了。由於我非常喜歡數學問題的討論,更喜歡數學屋這個地方。所以,我會經常來。當然,我也有其他事情要忙。因此,我不能永久地陪伴大家。不過,不是還有數學嗎?它是我們共同的信仰,就在我的心中。好了,是時候讓大家的腦細胞休息了。記得,明天還在這裡。
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