莫比烏斯反演是數論數學中很重要的內容，可以用於解決很多組合數學的問題。

　　莫比烏斯研究如下函數:

　　F(1)=f(1)

　　F(2)=f(1)+f(2)

　　F(3)=f(1)+f(3)

　　F(4)=f(1)+f(2)+f(4)

　　F(5)=f(1)+f(5)

　　F(6)=f(1)+f(2)+f(3)+f(6)

　　F(7)=f(1)+f(7)

　　F(8)=f(1)+f(2)+f(4)+f(8)

　　反演變化過來時以下情況:

　　f(1)=F(1)

　　f(2)=F(2)-F(1)

　　f(3)=F(3)-F(1)

　　f(4)=F(4)-F(2)

　　f(5)=F(5)-F(1)

　　f(6)=F(6)-F(3)-F(2)+F(1)

　　f(7)=F(7)-F(1)

　　f(8)=F(8)-F(4)

　　後來的莫比烏斯函數用在黎曼猜想J(x)公式裡。

　　μ(1)= 1

　　μ(n)= 0 (如果 n 可以被任一素數的平方整除)

　　μ(n)=-1 (如果 n 是奇數個不同素數的乘積)

　　μ(n)= 1 (如果 n 是偶數個不同素數的乘積)。

　　因此知道了 J(x)就可以計算出π(x)，即素數的分布函數。把這些步驟連接在一起，我們看到，從 ζ(x)到 J(x)，再從 J(x)到π(x)，素數分布的秘密完全定量地蘊涵在了 Riemann ζ函數之中。這就是 Riemann 研究素數分布的基本思路。