受到阿貝爾的信，阿貝爾聲稱自己證明了五次方程沒有根式解，高斯嗤之以鼻。

　　“不是沒有解，僅僅是因為你解不出來吧?”

　　高斯被阿貝爾這麽一搞，就想要好好琢磨關於解方程的問題，而且不僅僅想給阿貝爾這個‘民科’一個教訓，同時也想要在更高層次上來回答這個問題。

　　這樣才能體現出自己數學王子這個霸氣的稱號。

　　高斯準備想給阿貝爾一個回信，上面說:“小家夥，知不知道在百年前，就有人得知了代數學基本定理。”

　　代數學基本定理:任何複系數一元n次多項式方程在複數域上至少有一根(n≥1)，由此推出，n次複系數多項式方程在複數域內有且只有n個根(重根按重數計算)。

　　高斯繼續寫著:“而且這是羅伯特在1608年已經證明的。”

　　這時，高斯停筆了，他突然覺得有些不對勁，他只是知道這件事，但是沒有見過羅伯特的證明過程。

　　高斯放下筆，開始去尋找證明過程。

　　高斯知道代數基本定理在代數乃至整個數學中起著基礎作用。最早該定理由德國數學家羅特於1608年提出。

　　高斯不知的是關於代數學基本定理的證明，後有200多種證法。迄今為止，該定理尚無純代數方法的證明。

　　高斯終於找到該定理的第一個證明是法國數學家達朗貝爾給出的，但證明不完整。接著，歐拉也給出了一個證明，但也有缺陷，拉格朗日於1772年又重新證明了該定理，後經高斯仔細分析，證明仍然很不嚴格的。

　　高斯說:“我得試試如何證明代數基本定理。”

　　高斯沒有再回信，只是專注於尋找證明方法，終於在1799年成功給出代數基本定理的第一個嚴格證明，在當年的哥廷根大學的博士論文中交出來。

　　後來有幾種證明方法，複分析證明，拓撲學證明和代數證明。

　　大數學家 J.P.塞爾曾經指出:代數基本定理的所有證明本質上都是拓撲的。

　　美國數學家John Milnor在數學名著《從微分觀點看拓撲》一書中給了一個幾何直觀的證明，但是其中用到了和臨界點測度有關的sard定理。

　　複變函數論中，對代數基本定理的證明是相當優美的，其中用到了很多經典的複變函數的理論結果。