然後從17世紀到18世紀，費馬、歐拉、拉格朗日和勒讓德等數論學家對二次剩余理論作了初步的研究，證明了一些定理並作出了一些相關的猜想，但首先對二次剩余進行有系統的研究的數學家是高斯。他在著作《算術研究》中首次引入了術語“二次剩余”與“二次非剩余”。

　　就是一個數的平方除以一個數得到的余數這樣的問題。

　　後來應用到噪音工程學、密碼學和大數分解上。

　　而想要了解二次剩余，就需要用二次互反律，二次互反也是經典數論中的定理之一。

　　在數論中，特別是在同余理論裡，二次互反律是一個用於判別二次剩余，即二次同余方程之整數解的存在性的定律。

　　高斯給了7個二次互反的證明，後來的之後雅可比、柯西、劉維爾、克羅內克、弗洛貝尼烏斯等也相繼給出了新的證明。

　　至今，二次互反律已有超過200個不同的的證明。

　　二次互反律可以推廣到更高次的情況，如三次互反律等等。

　　二次互反律被稱為“數論之釀母”，在數論中處於極高的地位。後來希爾伯特、塞爾等數學家將它推廣到更一般的情形。