李普希茨是德國數學家、物理學家。主要研究數學分析、數論、微分方程、多維幾何、力學和物理。

　　1859年，他發表了關於借助線積分給出貝塞爾函數的漸近展開式的嚴格研究。

　　1864年，在研究傅立葉級數收斂性時，給出了以他的姓命名的充分條件。

　　1876年，他改進了柯西關於常微分方程存在定理的條件。現在這一條件就被稱為李普希茨條件。他對n維空間的子空間給出了一些新的結果。

　　他還是微分不變量研究的創始人之一，在其工作中已出現了共變微分這種運算。

　　狄利克雷對利普希茨抱有希望，利普希茨聽話，而且有才華。

　　如果讓他研究一種重要的細節，肯定是有戲的。

　　先讓利普希茨去研究關於函數映射的問題。

　　狄利克雷讓利普希茨開始研究連續映射的概念。

　　設X，Y為任意兩個集合，映射f:X→Y，對於x0∈X，有y0=f(x0)，如果對於y0的任意鄰域U(y0)，總能找到x0的鄰域U(x0)，使得f(U(x0))?U(y0)。則稱映射f在點x0是連續的。如果映射f在集合X的每一點都是連續的，則稱映射f為X上的連續映射。

　　奧托·赫爾德和普利希茨都開始研究除了三維坐標系的連續性，還有什麽樣的連續映射?

　　赫爾德說:“度量空間也是可以連續映射的。”

　　利普希茨說:“不是三維空間那種勾股定理的距離，而是單個變量的差值，就去代表距離。”

　　赫爾德說:“想要讓它變得合法化，是不是需要弄清它是不是連續映射的?”

　　利普希茨說:“起碼先要符合連續映射的條件，要不然，肯定不能這樣用。”

　　赫爾德說:“因變量的差值，是自變量差值的幾次方乘以一個常數。”

　　利普希茨說:“不需要這樣，只要一次方即可。”

　　後來α次方的赫爾德條件，也被稱為α階的利普希茨條件。

　　之後，弗雷歇開始在1910年考慮抽象空間的連續映射。

　　利普希茨連續的幾何意義是什麽?怎麽較好的理解它呢?

　　以陸地為例。

　　島嶼:不連續

　　一般陸地:連續

　　丘陵:李普希茲連續

　　懸崖:非李普希茲連續

　　山包:可導平原:線性

　　半島:非凸

　　想了半天用什麽來表達亞連續(semi-continuity)，好像只能用瀑布了。稍微具體點的話，李普希茲連續就是說，一塊地不僅沒有河流什麽的玩意兒阻隔，而且這塊地上沒有特別陡的坡。其中最陡的地方有多陡呢?這就是所謂的李普希茲常數。懸崖的出現導致最陡的地方有“無窮陡”，所以不是李普希茲連續。

　　利普希茨連續不就是函數上任意兩點連線的斜率是有界的嗎?也就是斜率不能無窮大。考慮f(x)=sqrt(x)這個函數雖然在(0，+無窮)上一致連續，但是兩點間斜率可以無限大，因此不是利普希茨連續。