在費馬研究數論基礎上，歐拉得到費馬-歐拉定理。

　　這是一個數論中基本定理。

　　為了這個定理歐拉定義了歐拉函數。

　　在數論，對正整數n，歐拉函數是小於或等於n的正整數中與n互質的數的數目(因此φ(1)=1)。此函數以其首名研究者歐拉命名、φ函數、歐拉商數等。

　　例如φ(8)=4，因為1，3，5，7均和8互質。從歐拉函數引伸出來在環論方面的事實和拉格朗日定理構成了歐拉定理的證明。

　　此時就開始提出費馬歐拉定理，如果正整數a，n互為質數。

　　則會有a的φ(n)次方除以n，余數為1.