Engel對維爾斯特拉斯說:“我知道狄利克雷函數它處處不連續，處處極限不存在。還沒聽說過處處連續而處處不可導的函數。會有這樣的函數嗎?”一般人在直覺上會認為連續的函數必然是可導的，即使不可導，不可導的點也必然隻佔整體的一小部分

　　維爾斯特拉斯寫出了一個方程，是一個余弦求和函數，外部系數a的n次方，a大於0小於1，內部角的系數是b的n次方乘以π，其中b是正奇數，符合一個條件a乘以b大於1加π乘以1.5.

　　Engle說:“這樣的函數式如何處處連續的?”

　　維爾斯特拉斯大概將圖描出來，是一個異常都懂像是充滿毛刺的圖。

　　Engle說:“這跟狄利克雷函數差不多了看，看起來處處不連續了。”

　　維爾斯特拉斯說:“這個圖放大了還是這種形狀，一直放大，一直是這樣相同的形狀。”爾斯特拉斯函數可以說是第一個分形函數，盡管這個名詞當時還不存在。將魏爾斯特拉斯函數在任一點放大，所得到的局部圖都和整體圖形相似。無論如何放大，函數圖像都不會顯得更加平滑，不像可導函數那樣越來越接近直線;仍然具有無限的細節，不存在單調的區間。

　　Engle說:“聽起來確實十分病態。”

　　維爾斯特拉斯說:“根據我發現的判別法可以證明這個函數的收斂性，也進一步證明這個函數是處處連續的。”

　　Engle說:“那如何去處處證明這個函數式處處不可導?”

　　維爾斯特拉斯說:“直接使用求導公式來，可以從中導出數列，導出矛盾。”