魏爾斯特拉斯和波爾查諾發現了維爾斯特拉斯判別法和波爾查諾-維爾斯特拉斯定理。

　　維爾斯特拉斯對波爾查諾說:“我們繼續開始研究級數收斂的問題吧。”

　　波爾查諾說:“有界數列必有收斂子列。”

　　從極限點的角度來敘述致密性定理，有界數列必有極限點。

　　維爾斯特拉斯說:“只要有界，必然會有收斂的子列?這個想法有意思。一聽就知道，是為了解決一個問題而提出和發現的東西。”

　　波爾查諾說:“在數列中任意抽取無限多項並保持這些項在原數列中的先後次序，這樣得到的一個數列稱為原數列的子列。”

　　維爾斯特拉斯說:“我知道，你說的有界，是無限的數列，不是因為區有限定義域的那種。直觀來講肯定是對的，只是為了證明一下而已。數列有沒有收斂，只需證明母列是有沒有界即可。”

　　波爾查諾說:“沒錯。”

　　維爾斯特拉斯說:“而我發現了一種判別法。跟你說法不一樣，但是也有相同意思。”

　　波爾查諾說:“請教。”

　　維爾斯特拉斯說:“如果一個數列，在一個定義域內，它的每一項都小於收斂正項級數的每一項，那一定是收斂的。”

　　波爾查諾說:“你這個在直觀上也好理解。證明數列有沒有收斂，只需要證明是不是小於收斂正項級數的每一項就夠了。”