施圖姆與劉維爾討論著解多種情況的偏微分方程的問題。

　　施圖姆說:“解偏微分方程，不是簡答的事情。”

　　施圖姆和劉維爾開始各自觀察和手寫偏微分方程的各種不同情況。

　　他們知道，如果想要用分離變量法去研究，需要附有邊界條件。

　　在參數取特定值時，才會出現非零解，這些特定值就是本征值，相應的非零解叫本證函數。

　　所以他們求偏微分方程，也就是在求本征值問題。

　　後來兩個人得到了七種本征值的情形。

　　第一種情況的，是簡單本征值。

　　第二種情況的，勒讓德方程本征值。

　　第三種情況的，連帶勒讓德方程本征值。

　　第四種情況的，貝塞爾方程本征值。

　　第五種情況的，埃爾米特方程本征值。

　　第六種情況的，拉蓋爾方程本征值。