初等函數的積分在何條件下仍為初等函數，也是他著重討論的問題。

　　劉維爾涉足科學領域之際，由阿阿爾和C.雅可比()所建立的橢圓函數理論正處於蓬勃發展時期。

　　1844年12月，劉維爾在給巴黎科學院的一封信中說明了如何從雅可比的定理(單變量單值亞純函數的周期個數不多於2，周期之比為非實數)出發，建立雙周期橢圓函數的一套完整理論體系。

　　兩位德國數學家C.W.博爾夏特(Bor-chardt)和F.約赫姆塔爾(Joachimsthal)向劉維爾詳細請教了他的工作情況。

　　C.W.博爾夏特對劉維爾說:“聽說，你最近在研究橢圓函數理論?”

　　劉維爾說:“肯定的，這是未來的大趨勢。”

　　C.W.博爾夏特說:“一個橢圓函數，如何跟二維周期函數成為一回事的呢?”

　　F.約赫姆塔爾說:“我覺得這樣的理論不靠譜。”

　　C.W.博爾夏特說:“心裡覺得奇怪，我們雖然經歷了這樣的構造過程，但是還是覺得不可思議。難道數學以後就是要這樣研究的嗎?”

　　劉維爾說:“你們不僅僅要適應，還要把這種連續不斷的變化變成常態才能更好的研究。”

　　C.W.博爾夏特說:“等一下，讓我們再縷縷。是橢圓函數在複空間內，有一種圓環的形狀。”

　　F.約赫姆塔爾說:“然後是二維空間中也找到了這樣的結構?”

　　劉維爾說:“是的，這兩者間有關聯，所以當前我要把我所有的精力都耗在二維周期函數上。”

　　C.W.博爾夏特說:“你有什麽發現嗎?”

　　劉維爾像兩個數學家展示了劉維爾四個定理。這是對橢圓函數論的一個較大貢獻。圍繞雙周期性，劉維爾展示了橢圓函數的實質性質，如下:

　　劉維爾第1定理:在一個周期平行四邊形內沒有極點的橢圓函數是常數;

　　劉維爾第2定理:橢圓函數在任一周期平行四邊形內的極點處殘數之和為0;

　　劉維爾第3定理:n階橢圓函數在一個周期平行四邊形內取任一值n次;

　　劉維爾第4定理:在一周期平行四邊形內零點之和與極點之和的差等於一個周期。

　　後來，到巴黎訪問的，而1850—1851年劉維爾在法蘭西學院講授的雙周期函數課程，也在C.A.布裡奧()與J.C.布凱(Bou-quet)所著《雙周期函數論》(Théorie des doublementpé，1859)一書中得到系統介紹。因此，盡管劉維爾的有關結論很少發表，仍能在法國內外迅速傳播並產生影響，雙周期函數的講義後來發表在1880年第88卷的德國《純粹與應用數學雜志》上。