克萊因名言:

　　數學是一種精神，一種理性的精神。正是這種精神，激發、促進、鼓舞並驅使人類的思維得以運用到最完善的程度，亦正是這種精神，試圖決定性地影響人類的物質、道德和社會生活;試圖回答有關人類自身存在提出的問題;努力去理解和控制自然;盡力去探求和確立已經獲得知識的最深刻的和最完美的內涵。——克萊因

　　數學是一種理性的精神，使人類的思維得以運用到最完善的程度。——克萊因

　　如阿基米德、牛頓與高斯這樣的最偉大的數學家，總是不偏不倚地把理論與應用結合起來。——克萊因

　　音樂能激發或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科技可以改善物質生活，但數學卻能夠提供以上的一切。——克萊因，M.

　　當一個數學主題在直觀上變得顯然時，才可以認為研究到頭了.——克萊因，C.F.

　　對早已正確認定的定理做進一步的研究，探索它的新證法，只不過是因為現有的證明欠缺美的魅力。——克萊因

　　1890年，克萊因在一般拉梅函數理論中，提出了自守函數。

　　是一種亞純函數，給複流形的解析變換下的離散群不變，f(γ(x))=f(x)，x屬於M，γ屬於離散群Γ。

　　自守函數是三角函數和橢圓函數的推廣，是數學中分析、代數和幾何理論交叉的產物。

　　出現這樣的結果，往往是多個數學家的共同研究，共同承認結果。

　　一個數學家，提出一個新的東西，只有很多同行朝著這個方向研究，甚至競爭，才能在正確和適當的時間內，被廣泛的承認和傳播，數學家此刻會名聲鵲起。

　　而如果一個數學家提出一個新東西，同行們沒有朝著這個方向研究，就不會出名，換句話說，這就是研究的太超前了，超越了當時這個時代。

　　自守函數屬於第一種情況。

　　克萊因對羅伯特·弗裡克說:“分析學的發展，你了解多少了?”

　　弗裡克說:“微積分發展的時候開始擴展微積分的主要內容，其中研究鍾擺和拉杆的問題。遇到了橢圓和雙曲弧長中的無理函數積分，成為橢圓積分。”弗裡克說著，寫出了一個這樣的函數，是一種積分公式，是橢圓積分近似表示。

　　然後看著公式，繼續說:“這個函數不能用代數函數、圓函數、對數函數和指數函數。這種無理函數確實是個迷人的問題，同時也越來越普遍了。還推廣到複數域。最後出現了勒讓德稱霸四十年的那個橢圓函數。阿貝爾和雅克比發現了橢圓函數反函數中，有類似三角函數的性質。”

　　克萊因接著說:“對於微分學的發展，你了解多少?”

　　弗裡克說:“有常微分和偏微分方程。跟物理學有關，力學向電磁學發展過來的，最後出現了複雜的物理運動，比如風帆運動、薄膜震動、行星運動和弦振動。以上有很多二階線性微分方程。解決方法有幾何法、不變量理論方法、群論方法，其中群論方法最成功。其中研究的最重要的是超幾何方程，許多重要方程都是這個方程的特殊情形。”

　　弗裡克繼續開始寫，一邊寫一邊想著說:“它是以1、0和無窮大作為奇點的二階線性常微分方程。 歐拉給級數解，高斯研究收斂性。然後常微分方程研究進入一個新的歷程，

就是奇點理論，一階奇點領域內有特定形式級數解。從一階奇點的解推廣到高階奇點的解。”　　弗裡克繼續興奮的說:“黎曼找到了亞純函數的奇點，亞純函數在複平面上不是單值”

　　弗裡克開始一邊畫圖，一邊說:“方程一組基本解系，當自變量繞著某個奇點解析延拓一周後，解系變換到另外一個單值解析分支中去。這些基本解系之間，存在線性關系。所有路徑解析開拓得到的相應變換集合，被埃爾米特稱之為方程的單值群。富克斯在黎曼基礎上，推進超幾何方程研究，研究n階微分方程問題。證明奇點在奇異系數的地方，激發大家用系數研究微分方程。”

　　弗裡克激情說完後，克萊因說:“代數學的研究，你了解多少?”

　　弗裡克說:“這好像是你擅長的吧。”

　　克萊因說:“我的代數方程的幾何理論，涉及到有限變換群，推廣到無限離散變換群。”

　　弗裡克說:“你剛剛東拉西扯一堆是?”

　　克萊因說:“我把分析學、微分學和代數學三合一，找到了一種自守形式。我的思想幾何化，用幾何學和群的觀點研究5次以及5次以上代數方程和線性常微分方程。”

　　弗裡克恍然大悟。

　　克萊因說:“我成功的從20面體中獲得5次代數方程完整理論。通過5次方程線性變換關系，以及斯瓦茲對三角函數理論的合作研究，研究橢圓函數模形式。”