康托爾定理(Cantor's Theorem):用P(X)記X的一切子集構成的集，用cardX表示X的勢，則cardX < cardP(X)。康托爾定理指的是在Zermelo-Fr?nkel集合論中，聲稱任何集合A的冪集(所有子集的集合)的勢嚴格大於A的勢。康托爾定理對於有限集合是明顯的，但是令人驚奇的是它對於無限集合也成立。特別是，可數無限集合的冪集是不可數無限的。要展示康托爾定理的對於無限集合的有效性，只需要測試一下下面證明中無限集合。

　　1874年，康托爾開始引進他的令人感到神秘莫測的無窮大概念。

　　康托爾提出了集合論，而且提出一種冪基，是原集合中所有子集組成的集合。冪基的個數大於原集合元素的個數。這是因為冪集與原集無法形成一一對應的關系了。

　　如果自然數是原集，自然數的冪集數大於自然數，所以自然數的冪集數的無窮大，比自然數的無窮大要多。而康托爾有證明了自然數的冪級數與實數一樣多，所以得知實數的無窮大數比自然數的無窮大要多。

　　康托爾證明直線、射線、線段上的點都一樣多，同時等於實數的個數。而且直線上點的個數與面上點的個數與體中點的個數一樣多。這也是康托爾悖論的核心內容。

　　後來康托爾又發現函數的個數的無窮大比實數的無窮大又大。

　　所以最後推出任意函數個數>實數數(線上點的個數)>自然數數。

　　其中有理數個數等於自然數個數，無理數個數等於實數個數！

　　數學家克羅內爾狠狠的批評了康托爾，說:“這不是數學，這是神秘學。”

　　康托爾也被這一番話弄得懷疑人生，還因為自己真的精神有問題了，然後進了精神病院，後來才康復。

　　克羅內爾的學生布勞威爾也同意自己老師的觀點，說:“數學必須是一種可以明確構造的結果，不能是無法描述清楚的東西。”

　　外爾也說:“康托爾的理論是霧中之霧。”

　　克萊因也不喜歡康托爾的理論。

　　也有支持者。

　　胡爾維茨(1859-1919)在他的綜合報告中，明確地闡述康托爾集合論對函數論的進展所起的巨大推動作用，這破天荒第一次向國際數學界顯示康托爾的集合論不是可有可無的哲學，而是真正對數學發展起作用的理論工具。

　　希爾伯特認為:“這是人類純粹智力活動的最高成就之一，是這個時代所能誇耀的最巨大的工作。”