柏原正樹(Masaki Kashiwara)

　　D模(D-module)的工具。D模是一種由微分方程編織而成的精巧數學結構，是廣泛應用於科學領域的、最基本的數學工具之一。

　　發現了所有不同類型的D模，以及它們之間的關聯。

　　構建這些D模結構的基本單元是微分方程。微分方程屬於數學分析的范疇，它描述變量之間的關系，處於現代科學的核心。例如，移動物體的速度就是通過微分方程表達的，它描述了運動距離與經過的時間之間的關系。

　　D模使用的框架來自於數學中一個抽象得多的分支——代數。在代數中，所有細節都被剝離，隻專注於所涉及的抽象結構的核心。

　　D模連接了分析與代數這兩個數學領域，使得一個領域的研究對象和方法可以進入另一個領域。柏原正樹極大地發展了D模理論，使之成為一個全新的領域——代數分析的基礎。

　　我們知道一個方程可能有多個解。例如，方程 sin(x)=0 有 0、π、2π、kπ這一系列解。我們稱方程是多值的。

　　另外，有些函數在一些點是沒有定義的。例如函數1/x，當 x 趨近 0 時，函數值趨向於無窮大，它在 x=0 處是沒有定義的。我們稱這樣的點為奇點。在奇點附近，方程的行為變得怪異。

　　如果這種多值性出現在奇點附近，而不是像sin函數一樣周期性地變化，就會成為一個特殊的問題。

　　數學家用方程對應的單值群(monodromy group)來理解這種奇怪的行為。這種群描述當方程的解在奇點附近變化時產生的空間形狀，也就是空間的拓撲結構。

　　在複平面上，函數log(z)在z=0處存在一個奇點。複平面上繞奇點整數圈的z，其log(z)的值都是相同的，也就是說，在複平面上，log(z)函數是多值的。如果圍繞奇點構建一個如圖所示的螺旋曲面，那麽當z環繞奇點時，log(z)將從一個單葉分支進入另一個單葉分支，而不是回到原來的複平面，也就是說，函數變成了單值的。

　　線性微分方程是一種特殊類型的微分方程。任何一個線性微分方程都有著與之關聯的單值群。然而，黎曼-希爾伯特問題問的是一個相反的問題:對於每一個單值群，是不是也存在一個相關聯的線性微分方程，它在奇點附近的行為由單值群來描述?

　　包含單個變量的線性微分方程已經在二十世紀六十年代解決了。在八十年代，柏原正樹找到了問題的答案。他展示了對於任意一個單值群，如何找到相關聯的線性微分方程，也就是說，找到在奇點附近具有特定行為的所有線性微分方程。

　　這是一個突出的成果，而且，他的方法為代數分析與拓撲這兩個領域搭建了一個重要的橋梁。

　　表示論( theory)。這是一種可以將抽象的代數結構描述為一種更易於理解的事物——作用於向量空間的矩陣——的方式。

　　表示論探索的是關於對稱的問題。數學領域中最基本的問題之一是關於可能存在的所有不同類型的對稱性。在物理世界，我們只會體驗到幾種基本類型的對稱性:臉部的鏡像對稱，雪花的旋轉對稱，地板圖案的平移對稱，以及它們之間的組合，例如螺旋形的開瓶器。然而在更高維度，有著無窮多種可能性。表示論提出的問題是:展現一種特定類型對稱性的所有不同的數學對象有哪些?

　　柏原正樹與合作者一起，

證明了表示論領域的Kazhdan-Lusztig猜想，這一問題處於分析、代數與幾何的交匯處。他們的證明方法是如此聰明且出人意料，甚至連該領域的數學家都讚歎不已。 之後他又與另一位數學家合作，證明了這個猜想更普遍的形式。這一證明如同一場革命，使得表示論發展成了現在的形式。　　通常，許多不同的數學對象會展現出同一種特定類型的對稱性，而這些數學對象會以難以理解的複雜方式彼此關聯。為了表示這些數學對象之間的關系，柏原正樹引入了水晶基(crystal base)的想法，使得能夠利用組合數學來回答表示論中的問題。

　　水晶基的概念揭示了複雜數學結構(用作用於向量空間的矩陣來表示)的核心是圖(graph)。水晶圖(crystal graph)的頂點是基底，圖的邊表示這些元素是如何相互關聯的。

　　這項工作的影響超出了數學領域。水晶基的概念在數學物理領域非常有用，它被用來證明粒子系統統計行為的公式。加州大學戴維斯分校的數學教授Anne Schilling說:“除了在表示論和統計力學方面的應用，水晶基在數論領域也產生了影響，尤其是自守形式(automorphic form)和狄利克雷級數。事實上，2013年ICERM數學研究所整個學期的課程都集中在組合表示論(combinatorial theory)，也就是水晶基與數論的相互作用。”

　　2016年，他證明了之前的黎曼-希爾伯特對應(Riemann-Hilbert correspondence)的一個延伸問題。他還在搭建不同數學領域之間的橋梁，包括辛幾何。