作者:Saharon ，以色列數學家，2001年Wolf數學獎得主。

　　Haim Judah請我做關於集合論的未來的演講，因為新的千僖年就要到來了，就講講下一個千年的集合論吧。但是我們馬上就調整到講下一個世紀的集合論，後來我想我最好講下一個十年的集合論，但是我懷疑我將會講下一年我想證明的定理和解決的問題，或者更糟糕的會講在過去的一年裡或20年裡我所做的工作，看來我不是特別適合做這個演講，因為我總是喜歡證明定理而不是做這樣話題的演講或文章，那我為什麽要在這個演講上做一次值得懷疑的努力呢?好，原因在這裡:在我有道義上的義務幫助Haim Judah組織這次會議和會議文集的前提下，在我不能讓朋友失望的前提下，給我一個選擇:要麽安排與會者的宿舍，寫羅嗦的文告，要麽做這樣一個有可能愚弄我自己的關於集合論的未來的演講，毫無疑問我選擇後者。

　　集合論的未來

　　我們現在討論一些相關的感興趣的話題，人們對這些話題的觀點是不同的，對於我，下文表中感歎號！的個數代表它推動我的工作的程度.

　　話題 A:對集合論興趣的來源

　　數學基礎/對哲學的應用！

　　對數學的應用！！！

　　歷史原因！！！

　　內在的發展！！！！

　　美感！！！！！！！！！

　　證明的樂趣！！！！！

　　一般化！！！！！！

　　遊戲娛樂[加上流行的規則]！！！

　　我們也可以用這些話題對當前集合論的工作和學者評價分類，所以下面我們將重點強調它們的差異。在很大程度上我被吸引到數學然後是數理邏輯中來是因為它們的一般化，我以為我這種一般化觀點是正確的;看來我似乎錯了。我感到例子經常會把你搞糊塗:特殊的性質只是陷阱因為它們在普通的情況下不成立，注意“一般化”我是指我寧願以一般的一階完全理論為研究對象，而不是有限Morley秩的單群，但我的信條不是“不要只見樹木，不見森林“，處理每個問題都要根據它的特性，找到你自己的領域對其他領域的應用意味著展示一些其他人會感興趣的東西;但是給你一個問題，為什麽不做到最好，把它做最大的推廣呢，當然，如果定理已經被證明，而額外的推廣是平凡的，那也是沒意思的。

　　從另一個角度來看，我的很多同行，包括一些集合論領域裡最優秀的大腦，對他們自己領域的自卑態度讓我感到吃驚，他們很多在面對數學家時感到自卑，似乎這裡有數學家，這裡有邏輯學家，它們是不相乾的領域，他們認為數學家是真正工作在更深，更難，更豐富，更有意義的領域，所以我們數理邏輯學家必須通過找到”數理邏輯“對”數學“的應用來證明我們的存在。這導致對數學的應用，邏輯學家做的大量工作，就像Abraham Robinson學派所做的那樣。現在我喜歡在很多數學領域證明定理，只要我能做到，但是我不喜歡這種數理邏輯領域裡的的卑屈態度.

　　很多其他人在發揮集合論對數學基礎和哲學的作用做了很多工作，對此我也沒有異議，但是有疑意。我的感受和很多作家類似:他們了解批評家對文化生活的作用，但認為墨守批評家的思想只會導致枯燥的作品，而這些思想本身會因為它們的內在美永遠散發光芒。還有人為集合論”美好舊時時光“的失去而抱怨，

那時證明由想法組成而不像現在這樣具有技術性，大體來說，我不是”美好舊時時光“的支持者，因為那時忽視你技術性的能力，而技術性卻是我的旗幟，很多次技術不是實現想法的例行事務，而是為組織，想法等等證明中的所有環節工作。這些技術是相當困難的，往往也包含有重要的新思想。我的感受，用誇張的方式來說，就是集合論的美感是永恆的，而它的哲學價值卻受潮流引導.並且我感到這些抱怨者的話是相互矛盾的，比如他們有的說數理邏輯現在比以前更數學化了，有的說數理邏輯處理的事情是有意義的，順便說一下，這些矛盾的觀點在實踐中卻是不矛盾的，很多人支持當中不止一種觀點。　　關於集合論美感，我是指在一個結構中，定義，定理，證明和諧的佔有位置的美感。但是複雜的證明我也不怕。當我是一個本科生的時候，在Birkhoff-的書裡，我發現Galois理論很漂亮，後來我發現Morley理論和它的證明很漂亮。厭煩的讀者可能會大怒:”美感?你可以在自己的髒亂中找到美感的痕跡?“，我只能說各有各的愛好，我的即是如此。

　　話題 B:集合論的框架

　　ZFC(譯注:Zemelo-Frankel的8條公理+選擇公理)！！！！！！！

　　力迫法！！！！

　　內模型！！！

　　大基數！！！

　　ZF+依賴選擇公理(DC)+一些形式的決定性公理！

　　這是一個合理但有交叉的劃分，無論如何，我們都是在ZFC的框架內證明定理，從ZFC 框架的支持者的觀點來看，證明定理意味著在ZFC框架內證明它，其它的框架是輔助的，對此，我相當認同。力迫法告訴我們什麽時候不能證明一個定理，大基數用來做協調性證明，運氣好時大基數也能排列成線形序比較大小，最後，內模型用來表明大基數是必需的，或者得到更好的等價性的結果。我的感受是除了像協調性的結果外，ZFC框架已經涵蓋了我們的直覺范圍，所以一個證明就是指ZFC框架下的一個證明，這當然是一個認為ZFC框架合理的強有力的證據.強化的力迫法本質上告訴我們所有的全體集合域都是同樣正當的，因此我們應該研究有特殊的代表性的全體集合域，比如可構成集L就沒有代表性，力迫法表明在ZFC框架下證明定理或假設廣義連續統假設成立就是無所謂的事，這是力迫法很強的結論，但是我懷疑這種對力迫法的觀點會有人支持。從折衷的觀點看，力迫法框架和ZFC框架是互補的，一種框架給出另一種框架內結果的否定，所以你對一種框架感興趣，你對另一種框架也會感興趣，事實上，我被迫嚴肅的處理力迫法是我想證明:在解決阿貝爾群基數的Whitehead問題中，我用阿列夫1勢集合的每個穩定子集上的diamond定理是正確的，因為連續統假設不夠強(從我的感受來說，文[Sh 64];[BD]中的力迫法太弱了)。

　　J. Stern 埋怨我，就在他全身心投入到力迫法前的兩年，仔細向他解釋為什麽ZFC框架下的證明是最好的，為什麽我喜歡ZFC框架下的證明而不是獨立性結果。我仍然認為ZFC框架下一個乾脆的答案是最好的，即使一個證明獨立性結果的新技巧可能更有趣。對於我，Cohen的力迫法比連續統假設的一個證明要有趣得多，因為Cohen給了我們一個一般化的方法——力迫法。

　　如果你對ZFC框架的興趣是認真嚴肅的，你應該把力氣放在下面:

　　問題:在ZFC框架下給出構造性的證明

　　我們現在知道如果可構成公理成立，在ZFC框架下更容易得出構造性的證明。這點是不錯的，如果你想表明某個定理不能被證明的話，你只要在某個全體集合域下證明這一點就可以了。例如在某基數真類存在的條件下，在文[GuSh 151]中證明線性序的一階理論裡可以解釋二階邏輯，現在來看這個條件的限制是很弱的，把這麽弱的限制條件去掉有多大的意義呢?我已經在這樣的問題上做了相當多的工作，見文[Sh 300， III]，[Sh:e]和[Sh 284b]。當然，在ZFC框架下不能得到構造性的證明的話，在某個全體集合域下得到構造性的證明是很有意義的。

　　早些時候，尤其是Cohen的工作以前，尤其是當沒有廣義連續統假設我們看來不能得出任何結論的時候，我們曾經考慮把廣義連續統假設采納作為一條公理，不是因為我們對廣義連續統假設的信心，而是因為我們對證明定理的願望，我們才做這樣的考慮，現在我認為這種考慮沒有那麽認真了。人們有時說我們應該”相信“或”采納“可構成性公理V=L，我個人的意見是強烈反對這種做法，因為可構成集L是一個非常細小不具有代表性的案例，采納它會損失很多有趣的定理，下文我們將會回到這一點，無論如何我都不會認為有人會認真對待這種做法。不管傳聞如何，Jensen應該不會”相信“可構成性公理V=L，雖然這確實是他的工作的個人優勢，他認為在可構成性公理V=L下的證明顯然比協調性的結果意義更大，對此我同意，但是和馬丁公理MA下的證明比起來呢?和sharp不存在下的證明比起來呢??和大基數下的證明比起來呢???下面的表會告訴我們一些事情(范圍0-100的數字是憑我的印象得出的代表的心目中的價值)

　　Jensen Magidor 我自己

　　協調性 40 40 30

　　在可構成性公理V=L下 65 50 35

　　在大基數下 50 60 40

　　在ZFC下 100 100 100

　　我認為對可構成集L的研究是ZFC框架下工作的一個很好的靈感來源，可構成集L是一個處在第二極端位置的個例，就像diamond定理和square定理的個例一樣，舉例來說，從廣義連續統假設的個例可以證明diamond定理，學習了Jensen的覆蓋引理後，我想根據sharp是否存在，通過dichotomy或其他的性質證明組合性的定理是件奇妙的事(見下文話題 C)，這點在文[Sh 71]有暗示，在文[Sh 111]、[ShSt 419]中實現，但是迄今為止我的這些工作沒有發揮特別的影響力，從ZFC框架的角度來看對內模型的理論形成了很高的期望，但是我最近了解到，Jensen有更高的期望:找到一些不存在sharp的內模型，從這些內模型我們可以得到集合論的終極理論，通過兩步可以理解集合論的一切——首先分析內模型，然後把真正的集合論簡化到內模型，看起來很好，但我不相信這樣行的通。

　　從大基數的角度來看，大基數的存在性的陳述是“半公理”的，大基數的支持者可能會說:看看累積的層次是怎樣形成的，我們為什麽要在得到了所有繼承有限集後在可數階段停下來呢?我們也不該停在Zermelo集合論的階段，停在第OMEGA個基數的階段，所以我們為什麽要在第一個不可達基數，第一個馬洛基數，第一個弱緊致基數，第一個可測基數的地方停下來?我們仍在繼續尋找正確的公理，它們對集合甚至實數有很深的影響，這些公理是讓人迷惑的，至少這些半公理是這樣。

　　一個非常有趣的現象，這些大基數公理，比如那些自然出現的，是線性排序的，這證明它們是自然的，雖然我們從各種組合變形法則，從各種簡單陳述的協調性得到這些大基數公理，但從某種范圍看來所有這些自然的法則和陳述和一些大基數是等價協調的的，所有這些證明了它們的自然性。這樣就提出了一個問題:

　　問題:是否有定理可以解釋我們想象的這些性質是比我們已經理解的性質更加一致?

　　直覺告訴我，除了一些人造的全體集合域外，冪集公理和置換公理像選擇公理一樣是成立的，然而直覺卻沒有告訴我多少關於不可達基數存在性的信息，根據我的經驗，數學很好但沒有集合論背景的人非正式的提到ZFC框架的時候是接受這個框架的。包括選擇公理，但不包括大基數。你可以用從一些複雜的域到它自身映射的函數的集合組成的類，承認笛卡兒集的非空性，沒有人會注意這些，沒有人會為一個可數迭代形成冪集的算子感到不安，因此大基數的存在性是一個很自然也很有趣的陳述，並且大基數上的定理作為推論也很引人注目，雖然定理本身並不如此，所以我對用比ZFC框架更少的條件證明大基數上的理不那麽感興趣。對於我上面的意見足以使我把大基數放在比內模型更高的位置，完全認可大基數在協調性證明中的作用，並且把大基數和決定性公理AD周圍的觀點陳述做比較，比如:從“ZFC+超緊致基數”的協調性得到的協調性證明，怎麽把條件的協調性小心的弱化，而結果卻沒有實質性的變化?我認為這是可行的。比如，從”ZF+依賴選擇公理+決定性公理+正則性“開始怎樣?不，對於我它只是一個推論，而Woodin或多或少持有和我相反的觀點。既然我自己的直覺沒有超出ZFC框架或ZFC+大基數協調性框架，我認為這些定理都是大基數非常有趣的推論。

　　可能下文的類比可以解釋我的觀點，我們用標準的美國公民做類比，因為大家都熟悉，因此一個典型的集合論全體集合域和典型的美國人約翰史密斯先生對應，我的典型的全體集合域是很有趣的，它有廣泛的區間在它裡面廣義連續統假設成立，但其他的定理卻嚴重衝突，例子很多，比如——很多基數的Souslin樹是存在的，很多基數上的每個Aronszajn樹是special的，很多可測基數和一個邊緣個例的非超緊致的巨基數是存在的，這些定理和約翰史密斯先生的事一樣合理:在紐約北部長大，在加利福利亞接收高等教育，在大學的第三年肆業，住在中西部的郊區，大部分英國撒克遜血統，兼有少些愛爾蘭、意大利、西班牙、黑人血統，和妻子分居有2.4個小孩。“得了，你怎麽能沒有連續統假設?你不能有的地方說對有的地方又說錯！”，是的，但是約翰史密斯先生也不能有2.4個小孩，連續統假設和2.4個小孩一樣不自然。虛構的美國標準公民約翰史密斯的情況和典型的全體集合域是很匹配的。受到這種類比的啟發，可構成集L像是3K黨章程某個章節的標題——一個值得研究的個例，但是可能不具有代表性。你也許會問:”這是否意味著你是個形式主義者而不是以前暗示的那樣是個理想主義者?“，不，我是一個集合世界裡的虔誠的理想主義者，但是我不能放棄對獨立性現象的研究。

　　對於決定性公理，我們在下文話題C討論:

　　話題 C

　　組合的，語義的！！！！！

　　語法的！

　　在我看來，對n階存在量詞定義的實數集非常感興趣的決定性公理學派完全站在語法這一面，根據洛杉磯學派(譯注:加州大學洛杉磯分校，加州理工學院CALTECH一批活躍的集合論學家，有Martin，Kechris等人)，決定性公理加上依賴選擇公理在實數集的可構成集合裡確實是正確的，當真實的全體集合域用符合直覺的方式滿足這條解決所有大問題的漂亮的公理的時候，我們為什麽還要在如此弱的ZFC框架下證明定理呢?好，我不是對問題的語法方面感興趣，但是嚴肅的來說，我同意決定性公理是一條漂亮的公理，在力迫法中有一席之地，並且從大基數可以推出它在”測度為正“的全體集合域集合上成立，但也僅此而已。

　　問題:是否有有趣的適合描述集合論的全體集合域?

　　我認為可構成集L是一個，K也是一個，但是洛杉磯學派認為這些答案是錯的，沒有管它們，當然，爭論不會平息，但是給出這個問題具體的帶有啟發性的答案卻是有趣且可行的。自然我會去考慮其他回答這個問題的全體集合域。注意，精細結構(fine structure)也是語法的，它的不少推論卻不是語法的，因此:

　　問題:在應用中需要多大的語法成分?比如可構成集L中的組合性質需要精細結構嗎?

　　對Jensen而言，精細結構是主要要點，diamond定理和square定理只是副產品，也許精細結構最容易向忽視它的人證明它的價值。就我個人而言，我寧願不用精細結構去得到精細結構的這些推論，但不是喜歡去找另外的所謂純粹證明。問題是，當我們想走得更遠，哪一條道路是更好的?當然，對於語法性的陳述，你需要精細結構。

　　問題:這些組合性質是否是徹底的?比如，足以得出可構成集L裡的組合性推論。

　　當然不是，在這個方向仍然可能會有正面的結果。

　　問題:真理會處在下面兩個極端情況之間的什麽位置?1.可構成集L中的每個組合性的陳述都是可判定的。2.我們應該有一種類似力迫法的技術，在ZFC+可構成公理框架下或皮亞諾算術等框架下，來得到像孿生素數猜想之類問題的獨立性的結果。

　　這兩種情況我都很喜歡，但我這方面知識卻不多，組合意味的不是語法而是語義，組合會令協調性的強度減弱，即使它的變形版本也是如此。

　　話題 D:感興趣的集合論對象

　　自然數！

　　實數！

　　實數集！！！！！

　　特殊集合！！！！！！！

　　大基數！！！

　　我對自然數也有理想化的強烈興趣，但不是作為一個集合論學家。我將在話題D.2(實數)討論關於射影集的問題，在話題D.3(實數集)討論關於連續統基數不變量的問題，在話題D.4(特殊集合)討論關於匈牙利學派一般劃分關系和基數算術法則，在話題D.5(大基數)討論大基數的劃分關系，對於模型論，我將在話題D.1(自然數)討論一些邏輯結構上的句子上的0-1律，在話題D.3(實數集)討論有理數可構成集等的阿列夫1勢模型的研究，在話題D.4(特殊集合)討論模型分類理論，在話題D.5(大基數)討論某些框架下的語句的Los問題，在話題D.2(實數)討論波萊爾線性序和波萊爾點。如果你和我一樣對這次會議的主題實數集非常感興趣，那麽下面的問題是核心的:

　　問題:如果連續統的勢等於阿列夫3會得到什麽結果?大於等於阿列夫3會得到什麽結果?

　　根據有限支持迭代，所有大於阿列夫1的正則基數都是相同的大小。而可數支持迭代隻對連續統勢小於等於阿列夫2的情況有用，根據我們這方面的工作，真力迫(proper forcing)的保持性(見[Sh:b， III])和其他的性質(見[Sh:b， VI])會加深連續統勢等於阿列夫2的個例的多樣性，我們有連續統假設的很多推論、從連續統勢小於等於阿列夫2證明獨立性結果的合理方法、還有不少的定理，但是對於連續統勢等於阿列夫3我們還知之甚少，更確切的說，可數鏈條件力迫的有限支持迭代告訴了我們很多連續統勢的信息，但連續統勢等於阿列夫1和阿列夫2情況下的有利結果令我們不思進取。

　　L. Harrington曾經在多年以前問我:你知道了所有那些獨立性結果有什麽好處呢?我的答案是:挑選可能存在的定理——當把所有不成立的關系扔掉後，你就沒有多少相互獨立的問題了，垃圾被扔掉了，剩下的當中你可以找到金子，這是一個獨立性結果很重大的意義。這在一個精彩的領域:基數算術已經實現，而在Cohen 和 Easton的工作以前，誰會考慮第OMEGA1個基數的冪的勢是多少?現在考慮連續統的基數不變量的問題， ZFC框架內可以證明這些不變量之間可能存在關系，當連續統的勢極端時這些關系變得平凡，就像一個量總等於其它的兩個量中的一個一樣，而處理這些關系，當前的獨立性結果方法太弱。

　　如果你對D.4特殊集合感興趣，那麽下面的問題看來是重要的:

　　問題:基數算術的法則是什麽?

　　目前我對這個問題相當投入(見專著[Sh:g])，所以我目前的看法可能沒有平常的時候那麽客觀，但這個方向是集合論傳統的中心課題。策梅洛的良序公理是說每個基數是一個阿列夫，哥德爾的可構成集L表明連續統假設可以成立，Cohen發現的力迫法表明連續統假設也可以不成立，Jensen的覆蓋引理用來回答單基數問題。

　　注意有時觀點不同的各方只是莫比烏斯帶的兩面:也就是我們沒有理解不同的觀點只是表達同樣的事物的不同途徑。比如專著[Sh:g]表明從連續統的勢下面看事情並不會使基數算術多余而削弱基數算術的影響力。相反的，甚至在布爾代數領域的人和非連通緊致拓撲空間拓撲領域的人還有這種不同的觀點:你是作為一個布爾代數學家對自由集感興趣還是作為一個拓撲學家對獨立集感興趣?

　　未來——讀者可能會提醒我——集合論的未來會是什麽呢?我生性樂觀，證明定理在我看來是相當的滿足，所以我一點也不對集合論的未來感到悲觀。回首這過去的100年，集合論古老的問題總是被深邃的答案所闡明，間歇的黑暗總是被新思想的出現所征服，集合論的一些方向需要大量的背景知識，而另外的方向需要的就很少，集合論這門古老的學科風采依舊。

　　讓我們重新思考這篇演講的目的，首先，不想被批評為”個人偏見“，”意識形態偏見“，”斯大林主義“，”王婆賣瓜自賣自誇“，我聲明這裡給出的只是我個人觀點。我可能是愚蠢的，但是要證明我是錯的也不容易，無論如何我有20世紀的歷史趨勢支持我，這些觀點已經存在了，不是我的原創，事實上我假定認為每個人想的和我是一樣的，一些事表明我在這裡表達的觀點得到了不少的讚同，他們不會去把這些觀點寫下來，所以在集合論的文化裡是沒有他們的聲音的，比如，在我的口頭演講後，Gitik說他的觀點和我是一樣的，除了他還要再想想約翰史密斯先生的類比外。

　　第二，我的這些觀點本身實際上是對我所了解的數理邏輯來說的，我遞歸論的知識不多，證明論的知識更少，所以我談的這些觀點更多是針對模型論和集合論而言的。

　　第三，既然你心裡已經知道什麽是重要的，什麽是好的數學品味這些了，那你為什麽要讀我這篇演講?一個可能的答案就是:你對我為什麽要做這個問題，我的觀點是什麽，還有我和我的同行的一些事感興趣。

　　一個職業的哲學家會說把一致放在優先的位置，但是理論和實踐總是有距離，大家都不清楚一致怎樣和數學家的工作聯系起來，洛克的書不是邱吉爾放棄詹姆斯二世的最好解釋，同樣盧梭的書也不是羅伯斯庇爾把丹東送上斷頭台的原因。因此讀者可能會問，一致怎樣和作者自己的工作聯系起來呢?我認為答案就是歷史原因，因為我們要有一些客觀的衡量標準，我認為好的問題對於數學的發展通常是至關重要的。很大程度上新一代數學家的職責就是解決前輩們的問題。回想當年我是在努力解決Keisler 和 Morley的問題時發展模型分類理論的，問題是首先啟動我的研究的，在很長的時間裡我對某種飽和模型的結構/非結構定理不滿意，因為它處理我引入的一類結構，看來像行騙，引入一類結構然後解決這類結構裡的問題，這也是我為什麽要為持懷疑態度的Thomas寫專著[Sh:c]第14章的原因。雖然我一直認為主縫隙定理(the main gap theorem)是主要要點，但我想我也應該解決Morley猜想，因為主縫隙是我自己的猜想，我不想最後我像一個國王，首先把劍射出去，然後以劍射中的地方為靶心。盡管如此，主縫隙定理仍是我的專著[Sh:c]的主定理。

　　我懷疑我有強調集合論遊戲和競爭價值的壞名聲，我不是指以練習為目的的遊戲，事實上，我對為了練習忽視已經存在的證明，而去證明已經證明了的定理是不以為然的。因為我喜歡搞數學，所以我認為解決一個問題比爭論它可能的意義更愉快。空虛感使我樂意解決僅僅是別人認為困難或重要的問題，即使我知道沒人會注意我這方面的工作，甚至在某些方面對我有害，我一般也不會拒絕這種誘惑，比如，``Solovay不可達性”的工作的開始完全是遊戲:我很少聽說過它，然後在1978年1月，在伯克利，Harvey Friedman告訴我:“你如果解決了它，你得到的回報不會讓你失望”，Harvey Friedman的猜測是正確的，說老實話我那時對隨機實數一無所知。Harvey Friedman向我保證說它帶有Baire性質的版本和它是一樣的，通過仔細研讀會發現這也是對的，這就是要我在不帶選擇公理的全體集合域和3階存在量詞定義的實數集中作出研究對象的選擇，我選擇了後者。這個問題我做了幾次直到它的解決。這項工作改善了我對描述集合論的理解，我的關於等價類的個數的工作(見文[HrSh 152]，[Sh 202]，)，和我的關於“如果大基數存在，那麽每個集合都是勒貝格可測”(見文[ShWd 241])的工作也是如此，雖然在某種程度上這些帶有騙局色彩:這些工作是在力迫法或者模型論的框架下而不是真正的描述集合論的框架下。根據行勝於言的格言，帶著好奇心我看了Fuchs關於阿貝爾群的書，我這樣做不僅是因為阿貝爾群不需要很多背景知識，看起來像有趣的數學，也是因為我想找到模型分類理論的應用。而當應用找到的時候，大部分卻是集合論的應用，這鞏固了我如下的信念:

　　通常你應該從問題開始而不是從方法開始。

　　要是我的學生Mati Rubin沒有放棄他，通過特殊個例布爾代數上的工作的解釋能力，來對一階理論飽和模型的自同構群分類的任務，我就不會被牽引到文[RuSh 84]中的工作和對布爾代數的自同構的量詞的長期的研究。沒有Cherlin，可數模型的非同構超集就不會被我發現(見文[Sh 326]和文[Sh 405])，Fuchs的書和很多優秀友好的阿貝爾群專家鼓勵我寫了很多關於阿貝爾群的文章，Haim Judah引導我做了很多關於實數的工作，與此相反的是如果Yuri Gurevich沒有離開Beer-Sheva，沒有離開數學，我們可能又有關於一元邏輯和分叉理論另外的一兩卷書。關於集合論遊戲，我還有些要說，請不要嘲笑我，我有一點“鄰居的草坪更綠”似的綜合症，憑感覺你“知道”鄰居的草坪更綠，我知道你不知道，對此我寧願去弄個究竟，一些自大的鄰居也強化了我的願望，舉例來說因此我也帶著好奇心在描述集合論領域裡一展身手，讀者也許會問:我有多喜歡鄰居的草坪呢?通常鄰居的草坪不僅很綠，而且有趣，但也僅此而已。

　　你有新的觀點對你的舊問題當然有好處，一個側面的問題會推動你認為重要的問題的例子就是:一個關於布爾代數的基數不變量的問題啟動了我目前關於基數算術的系列工作(見文[Sh 345].)

　　從我關於Morley猜想的工作開始， 只要我感到課題本身重要或喜歡這些課題，我就會多年專注於這些課題而很少旁騖。事實上我的大部分時間都花在這樣的課題上，結果往往是一本專著，因此我的專著是和我的計劃對應起來的，不是隨意證明一些定理的偶然性。對於模型分類理論，專著[Sh:a]和專著[Sh:c]在我看來是徹底的，從一般化的程度和遵循ZFC框架來說，都是如此。在專著[Sh:b]中，一般化的程度是可以的，但是它是不在ZFC框架下，上文我們已經解釋了原因。專著[Sh:g]在遵循ZFC框架方面是做得很好的，但是它的一般化不夠。也許隨著年齡的增長，我的數學能力會退化，而這看來是相當正常的。

　　曾經有人告訴我太多的工作必然導致糟糕的數學品味，但是我從來不給一個定理一個負面的評價。此外我不介意某些工作是否適合我因為它永遠都會適合我的觀點，因為我虔誠的認為:論點:永遠不要讓意識形態或者所謂的品味阻止你證明一個好的定理。

　　因為一個定理的美感不是由所有以前對它的了解來定義的，它更像是藝術品的美感一樣，也就是雖然我們目前的知識可以啟發我們為什麽我們喜歡它，為什麽它重要等等，但是我們對美感沒有一個精確的定義。蒙娜麗莎是一件偉大的藝術品，但從未被證明是如此，不同時代的評論家對它有不同的觀點，但是至今我們仍然欣賞它。