得知牛頓科特斯公式出來之後。

　　辛普森說:“既然出現了一個簡單的求積分的方法。那就需要求一些相對複雜的。”

　　相對於那些矩形這些簡單而言，較為複雜一些的是拋物線包圍。

　　這就是牛頓-科特斯公式當n=2時的情形，也稱為三點公式。

　　利用區間二等分的三個點來進行積分插值。其科特斯系數分別為1/6，4/6，1/6。

　　可以應用在立體幾何中用來求擬柱體體積的公式。

　　所有的頂點都在兩個平行平面內的多面體叫做擬柱體。它在這兩個平面內的面叫做擬柱體的底面，其余各面叫做擬柱體的側面，兩底面之間的垂直距離叫做擬柱體的高。

　　設擬柱體的高(兩底面α，β間的距離)為H，如果用平行於底面的平面γ去截該圖形，所得到的截面面積是平面γ與平面α之間距離h的不超過3次的函數，那麽該擬柱體的體積V為

　　V = H (S_1 + 4S_0 + S_2)/6.

　　式中，S_1和S_2是兩底面的面積，S_0是中截面的面積(即平面γ與平面α之間距離h=H/2時得到的截面的面積)。

　　事實上，不光是擬柱體，其他符合條件(所有頂點都在兩個平行平面上、用平行於底面的平面去截該圖形時所得到的截面面積是該平面與一底之間距離的不超過3次的函數)的立體圖形也可以利用該公式求體積。

　　之後辛普森在思考更高維度的情況，也就是更高維度的擬柱體這樣的東西。