彭羅斯在牛津大學擔任勞斯·保爾數學教授，他在那裡發現了幾個強製產生非周期性鋪陳的小型鑲嵌片集合，它們不是正方形類型的。盡管他的大部分工作都是關於相對論和量子力學的，不過他對於趣味數學也保持著活躍的興趣。他與他的父親、遺傳學家、已故的 L.S.彭羅斯(L.S. Penrose)分享這方面的樂趣(他們是著名的“彭羅斯階梯”的發明者，這條階梯周而複始地兜圈子卻不通往更高處。埃舍爾在他的版畫《上升與下降》中描繪了這條階梯。)1973年，彭羅斯發現了一組六片強製產生非周期性鋪陳的鑲嵌片。1974年，他發現了一種將它們減少為四片的方法。此後不久，他又將它們減少到兩片。

　　由於這些嵌片適用於製成商業遊戲拚圖，彭羅斯直到申請了英國、美國和日本的專利後，才願意將它們公開。這些專利現今仍然有效。我對於康韋研究彭羅斯鋪陳而獲得的許多結果同樣不勝感激。

　　一對彭羅斯鑲嵌片的形狀是可以變化的，但是其中稱為“飛鏢”和“風箏的那一對最有趣，這是康韋給它們起的名稱。圖1.6(A)中顯示了如何由一個內角為72度和108度的菱形來獲得這兩個形狀。將長對角線按照我們熟悉的黃比例(1+√5)/2=1.61803398…分割，【小編注:中國人一般取黃金分割比為(√5-1)/2=0.618…，外國人一般取(1+√5)/2=1.618…，兩者實為互為倒數，只是比的順序不同。】然後將該點與兩個鈍角頂點相連。就這麽簡單。用φ表示黃金比例。如圖所示，每條線段不是1就是φ。最小的角度是36度，其他角度都是它的倍數。

　　這個菱形當然能周期性鋪陳，不過我們不允許用這種方式來拚接這些鑲嵌片。要禁止將相等長度的邊拚接在一起，這可以通過凸起和凹陷的形狀來強製實現，不過還有一些比較簡單的方法。例如，我們可以按照圖1.6(B)中所示將各頂點標注為H(“頭”的英文head的首字母)和T(“尾”的英文tail的首字母)，然後給出規則:在拚裝邊緣時，僅具有相同字母的頂點可以相合。可以在各個頂點處放置兩種顏色的點來幫助確認此規則，不過康韋提出了一種更加優美的方法，在每片鑲嵌片上畫兩種顏色的圓弧，在插圖中用黑色和灰色來表示。每條弧都以黃金比例切割邊和對稱軸。我們的規則是，相鄰的邊必須連接相同顏色的圓弧。

　　為了充分理解彭羅斯鋪陳的美和神秘，我們應該至少製作100片風箏和60片飛鏢。這些鑲嵌片只需要一面著色。這兩種鑲嵌片數量(同它們的面積一樣)符合黃金比例。你也許會設想你需要較多小一些的飛鏢，但是實際情況卻與此相反。你需要的風等片數量是飛鏢的1.618…倍。在無限鋪陳的情況下，這個比例是精確的。由於這個比例是無理數，其潛在的結果就構成了彭羅斯的個證明:該鋪陳是非周期性的，因為如果它是周期性的，那麽這個比例顯然就會是一個有理數。

　　一個很好的計劃是:在一張紙上畫盡可能多的飛鏢和風箏，並且使其比例大約為五片風箏比三片飛鏢，用一根細線來畫出這些曲線。可以將這張紙複印許多次。然後可以將這些曲線著色，比如說用紅色和綠色的氈尖筆。康韋發現，如果你將圖1.6(C)中所示的這三個較大的形狀複印許多次，那麽就會加速構造過程，

並且保持圖案更加穩定。在你擴展一種圖案的時候，你可以不斷地用A尖和領結來取代飛鏢和風箏。事實上，由飛鏢和風箏構成的任意多對這樣的形狀對將可以鋪陳出任何無窮無盡的圖案。　　有一種彭羅斯圖案的構成方式是，先在一個頂點周圍鋪陳飛鏢和風箏，然後再放射性地向外擴張。每次你在邊緣增加一片，你就必須在飛鏢和風箏之間作出選擇。有時候這種選擇是被迫的，有時候則不是。有時候兩種都合適，但是稍後你可能會遭遇到一種與之相抵觸的情況(在該點處，哪一片都不能合乎規則地添加上去)，於是被迫回來作出另一種選擇。繞著一條邊界前進，首先放置所有別無選擇的鑲嵌片，這是一個很好的打算。它們不可能導致抵觸的情況。然後你可以用那些有選擇余地的鑲嵌片來進行嘗試。總有可能一直進行下去。你越是擺弄這些鑲嵌片，就會愈加體驗到那些提高效率的“強迫法則”。例如，一片飛鏢在其凹處必須放置兩片風箏，於是就創造出了無所不在的A尖。

　　有許多方法來證明彭羅斯鋪陳的數量不可數，正如一條直線上有不可數個點一樣。這些證明都依據彭羅斯發現的一種令人驚奇的現象。康韋把它稱之為“膨脹”和“收縮”。圖1.7中顯示了膨脹的開始。試想把每片飛鏢都切割成兩半，然後再把原來的短邊都黏合在一起。其結果是一種由更大的飛鏢和風箏構成的新的鋪陳方式(用黑色粗線表示)。

　　膨脹可以延續至無窮，其中每一“代”新的鑲嵌片都比上一代要大。請注意第二代的風等雖然與第一代的A尖具有相同的大小和形狀，但是其構成方式不同。出於這個原因，A尖也被稱為傻瓜的風箏。絕不可把它錯認為是第二代風箏。收縮就是將同樣的進程逆向進行。在每一種彭羅斯鋪陳上，我們都能畫出一代一代越來越小的飛鏢和風等。這種模式也可延續至無窮，從而創造出個分形(參見原書第3章)的結構。

　　康韋對彭羅斯的圖案不可數的證明(彭羅斯早先曾用一種不同的方法證明過)可以作如下概述。在風箏對稱軸的一邊標注L(“左”的英文left的首字母)，另一邊標注R(“右”的英文 right 的首字母)。在飛鏢上也如此操作，用l和r進行標注。然後在鋪陳圖案上隨機選擇一點。記錄下表示它在鑲嵌片上位置的那個字母。將這個圖案膨脹一步，注意同一個點在第二代鑲嵌片上的位置，並再次記錄下那個字母。持續進行更高階的膨脹，你就會創造出一個符號的無限序列，這個序列，可以說，獨一無二地標記了從選擇的那一點看到的原始圖案。

　　在原始的圖案上選擇另一點這個過程可能會給出一個開頭不同的序列不過它會到達一個字母，在這個字母之後直至無窮，它都會與前一個序列一致。如果不存在這樣在某一個特定點之後的一致性， 那麽這兩個序列所標識的就是截然不同的圖案。由這四個符號構成的所有可能的序列並不都能通過這個方式產生，不過可以證明，標記不同圖案的序列在數量上與一條線上的點的數量對應。

　　我們忽略了那些鋪陳圖案中的著色曲線，這是因為它們對觀察這些鑲嵌片造成了困難。不過，如果你用著色的鑲嵌片來研究的話，你就會為這些曲線所創造出的各種美麗圖樣然心動。彭羅斯和康韋分別獨立地證明:每當一條曲線閉合時，它就具有五軸對稱性，並目這條曲線內部的整個區域都具有五重對稱性。在一種圖案中，對每種顏色而言，至多只能有兩條曲線不閉合。在大多數圖案中，所有曲線都閉合。

　　盡管我們有可能構造出一些具有高階對稱性的彭羅斯圖案(有無窮多種圖案都具有雙側對稱性)，但是大多數圖案，都如同宇宙一樣，是由有序和出乎意料地偏離有序所構成的一種神秘莫測的混合體。隨著這些圖案的擴張，它們似乎總是盡力重複自身，卻又總是不能很好地做到這一點。切斯特頓曾經提出過，如果有一個外星人在觀察人體上有多少特征是左右重複的，那麽他就會合理地推斷我們的身體兩邊各有一顆心臟。他說道，這個世界“看起來比實際情況恰好更數學一點、更有規律一點;它的精確性是顯而易見的，但不精確性則隱置其中;其放蕩不羈潛伏以待。”到處都存在著“對精確性少許悄無聲息的背離，這是事物中恆有的一種怪異的要素……宇宙中一種隱秘的叛逆。”這段話很好地描述了彭羅斯的平面世界。