關於彭羅斯的宇宙，還存在某種更為令人驚奇的事情。從一種奇特的有限意義上來說，由於受到“局部同構定理”的製約，所有的影羅斯圖案都是相似的。彭羅斯證明:任何圖案中的每一個有限區域，都包含在所有其他圖案中的某處。此外，它在每種圖案中出現無窮多次。

　　為了理解這種情形有多麽狂，請想象你正居住在一個無限大平面上，這個平面由不可數的無窮多種彭羅斯鋪陳中的一種鑲嵌而成。你可以在這不斷擴張的面積上一片一片地檢查你的圖案。無論你探索多大的面積，你都無法確定自己是處在哪一種鋪陳方式上。去往遠處以及檢查不相連的區域都毫無幫助，因為所有這些區域都屬於一個大的、有限的區域，而這個區域在所有圖案中都被精確地複製了無窮多次。當然，對於任何周期性鑲嵌圖而言，這都是顯而易見的事實，然而彭羅斯宇宙並不是周期性的。它們有無窮多種方式使得彼此顯得不同，卻又只能在觸不可及的極限上才能將它們彼此區分開來。

　　假設你已探究過一個直徑為d的圓形區域。我們把它稱為你所居住的“鎮”。突然之間，你被傳送到一個隨機選擇的平行的彭羅斯世界。你離一個與你家鄉的鎮裡的街道一模一樣的圓形區域有多遠?康韋用一條超凡卓越的定理給出了答案。從你家鄉的鎮的邊界到那個一模一樣的鎮的邊界的距離，絕不會超過黃金比例的立方的一半的d倍，或者說就是2.11+[譯者注:這裡的加號(+)表示(1.61803398…)3=2.1180399…]乘以d。(這是一個上限，而不是平均值。)如果你朝著正確的方向走，那麽你不需要超過這個距離，就會發現自己置身於你自己家鄉的鎮的精確複製品中。這條定理也適用於你身處的宇宙。每一種大的圓形圖案(有無窮多種不同的圖案)都可以朝某個方向走過一段距離而到達，這個距離必定小於這個圖案直徑的大約兩倍，更有可能大約就等於該直徑。

　　這條定理相當出人意料。考慮一列無模式的數字序列，例如π，展示出了一種類似的同構。如果你選擇一列由10個數字構成的有限序列，然後從π中的一個隨機位置開始，當你沿著π走得足夠遠的話，你就肯定會遇到與此相同的序列，不過你必須走的距離不存在已知的上限，並且預期的距離遠多於10位數。這個有限數列越長，你可以預計要再次找到它就需要走得越遠。在一種彭羅斯圖案上，你總是非常靠近家鄉的一個複製品。

　　飛鏢和風箏恰好適合鋪陳在一個頂點周圍的方式只有七種。讓我們首先來考慮(用康韋的術語來說)兩種具有五軸對稱性的方法。

　　太陽(如圖1.8中的白色部分所示)不強製其周圍任何其他鑲嵌片的放置方式。不過，如果你添加幾片，使其一直保持五軸對稱，那麽就會迫使你構造出如圖所示的這個美麗的圖案。它是唯一確定的，直至無窮。

　　圖1.9中的白色部分所表示的星星，強製在其周圍鋪陳10片淺灰色風箏將這個圖案放大，始終保持其五軸對稱，你就會創造出另一種如同花朵一般的圖樣，這種圖樣也是無窮的和獨一無二的。各式星星和太陽圖案是僅有的具有完美五軸對稱性的彭羅斯宇宙，並且從一種令人愉快的意義上來講，它們是等價的。膨脹或者收縮這兩個圖案中的任何一個，你就會得到另一個。

　　A尖是圍繞一個頂點鋪陳的第三種方法。

它不強製使用任何其他鑲嵌片。兩點、傑克和王后在圖1.10中用白色區域表示，四周包圍著它們直接強製鋪陳的鑲嵌片。正如彭羅斯所發現的[後來巴赫( Clive Bach)也獨立作出了這一發其中現]，有些七頂點圖形會使得一些並不與直接受到這種強迫作用的區域相連的鑲嵌片的擺放受到影響。　　在所有彭羅斯宇宙中，最超凡卓越的、對於理解這些鑲嵌片至關重要的種，就是無限車輪圖案，其中心部分顯示在圖1.11中。在其中心處，用粗黑線勾勒出的正十邊形(它的每條邊都由一對長邊和短邊構成)就是康韋所謂的“車輪”。在任何圖案上，每個點都在一個和這個圖案完全一樣的車輪內部。將其膨脹一步，我們就看到每個點都處於一個更大的車輪內部。相似地，每個點又都位於每一代車輪內部，盡管這些車輪並不需要是同心的。

　　請注意輻射至無窮的那10條淺灰色輪輻。康韋將它們稱為“蟲”。它們是由長長短短的領結構成的，其中長短領結的數量之比是黃金比例。每一個彭羅斯宇宙中都包含著無限條任意長度的蟲。膨脹或者收縮一條蠕蟲，你就會得到沿著同一根軸的另一條蟲。瞧，在無限車輪圖案中，兩條完整的蠕蟲橫跨了中心的車輪(它們在其內部時不是灰色的)。其余的輪輻都是半無限蜻蟲。除了這些輪輻以及中心車輪內部以外，這個圖案具有完美的十重對稱。在任意兩根輪輻之間，我們看到太陽和星星的圖案越來越大的部分交替出現。

　　這個無限車輪圖案中的任何一根輪輻都可以兩邊對調(或者與此等價地，其中的每一個領結都可以兩端調轉)，結果除了中心車輪內部的那些鑲嵌片外，這根輪輻仍然會與周圍的所有鑲嵌片相符合。圖中共有10根輪輻，於是就有21o=1024種狀態組合。不過，在去除旋轉和翻轉之後，就只有62種完全不同的組合了。每種組合都在車輪內部留下一個區域，康韋將其命名為“十足動物”。

　　十足動物是由10個全同等腰三角形構成的，這些三角形的形狀為放大的半個飛鏢。具有最高對稱性的十足動物是圖1.12中所示的圓鋸和海星。和一條蟲一樣，每個三角形都可以翻過來。像之前那樣，通過忽略旋轉和翻轉，我們就得到62種十足動物。想象每個十足動物周界上的凸頂點都標注為7，四頂點都標注為H。為了繼續鋪陳，這些H和7都必須按照通常的方式與鑲嵌片的頭尾相配。

　　將輪輻按它們在無限車輪圖案中所示的那種方式排列時，在其中心處就形成了一個被稱為蝙蝠俠的十足動物。蝙蝠俠(用深灰色表示)是唯一能夠被合乎規則地鋪陳的十足動物(沒有任何有限區域可以具有一種以上的合乎規則的鋪陳方式)。然而，蝙蝠使並不強製產生無限車輪圖案。它只不過是允許產生這種圖案。實際上，一種合乎規則的鋪陳的任何一個有限部分都不能強製產生一個完整圖案，因為每種鋪陳中都包含這個有限部分。

　　請注意無限車輪圖案是雙側對稱的，它的對稱軸豎直通過蝙蝠俠。膨脹這個圖案，它保持不變，只是對一條垂直於這條對稱軸的直線發生鏡面翻轉。蝙蝠俠中的五個飛鏢及其兩個中心風箏，是任何彭羅斯宇宙中絕無僅有的不在一個五重對稱區域內的鑲嵌片。其他所有的在這個或者別的圖案中的鑲嵌片都在無窮多的五重對稱區域中。

　　通過挪動這些輪輻中的蠕蟲，形成另外61種組合，就會在中心車輪內部產生另外61種十足動物。所有這61種十足動物都是下面這種意義上來說的“洞”。一個洞，是指任何不能被合平規則地鋪陳的、有限的、空的區域，它被一種無限鋪陳包圍著。你也許會猜測每種十足動物都是無限多種鋪陳的中心，不過彭羅斯的宇宙在這裡跟我們開了另一個玩笑。令人驚奇的是，有60種十足動物強製產生的鋪陳只有獨特的一種，這種鋪陳方式與只在由輪輻組成的鋪陳中顯示出來的那種方式有所不同。只有蝙蝠俠和另一種十足動物除外，後者被命名為一部法國動畫片中的一個角色，名為阿斯特裡克斯。像蝙蝠俠一樣阿斯特裡克斯允許產生一種無限車輪圖案，不過它也允許產生一些其他類型的圖案。