現在來討論一個令人吃驚的猜想。康韋雖然沒有完成其證明，但是他相信每種可能的洞，無論其大小或形狀如何，在下面這種意義上都等價於一個十足動物的洞。通過重新排列這個洞周圍的鑲嵌片，在必要的情況下取走或添加有限數量的鑲嵌片，你就能把每個洞都轉換成一個十足動物。假如事實果真如此，那麽一個圖案中的任何有限數量的洞就都能夠被簡化成一個十足動物。我

　　們只需要取走足夠的鑲嵌片，從而將這些洞連接面成一個大洞，然後不斷縮小這個大洞，直至得到一個無法鋪陳的十足動物。

　　將一個十足動物想象成一片固化的鑲嵌片。除了蝙蝠俠和阿斯特裡克斯以外，62種十足動物中的每一種都好像是凝結成一顆晶體的一種瑕疵。它強製產生一種獨特的無限車輪圖案，其中包括輪輻等等，如此永無止境。如果康韋的猜想成立，那麽任何一片強製產生一種獨特鋪陳的“異形鑲嵌片”(這是彭羅斯所用的術語)，無論這鑲嵌片有多大，它的輪廓線都可轉換成60種十足動物的洞之一。

　　早先描述過將等腰三角形改變成螺旋狀鋪陳的多邊形，通過與之相同的技巧，就可以把風等和飛鏢改變成其他一些形狀。埃舍爾正是運用這種技巧，將多邊形鑲嵌片轉換成了動物的形狀。圖1.13中顯示了彭羅斯如何將他的飛鏢和風箏轉換成只能非周期性鋪陳的雞群。請注意，盡管這些雞是非對稱的不過要鋪陳這個平面，完全沒有必要把其中的任何一片翻過來。可惜，埃舍爾去世前沒能得知彭羅斯的這些嵌片。不然的話，他將在它們的各種可能性中縱情陶醉！

　　通過將飛鏢和風等分割成更小的鑲嵌片，並把它們用其他方式組合在起，你就可以構造出一些性質類似於飛鏢和風箏的其他成對的鑲嵌片。彭羅斯發現了異常簡單的一對:圖1.14的樣例圖案中的兩種菱形，它們的各邊都等長。較大那一片的內角分別為72度和108度，而較小那一片的內角分別為36度和144度。與前面一樣，這兩種鑲嵌片的面積以及所需鑲嵌片數之比都符合黃金比例。各種鋪陳方式以不可數的無限多種非周期性方式膨脹、收縮以及鋪陳這個平面。這種非周期性可以通過四凸或者某種著色方式來強製實現，例如彭羅斯提出的一種著色方式，在這幅插圖中用淺灰色和深灰色區域表示。

　　通過仔細觀察圖1.15中的這個五角星形，我們可以看到這兩組鑲嵌片是如何緊密地彼此聯系在一起，又是如何與黃金比例密切相關。這是古希臘畢達哥拉斯學派的神秘符號，而歌德的浮士德也是用這張圖抽獲梅菲斯托費勒斯的。這一構造過程可以向內和向外，永遠持續下去，並且每條線段都與下一條較短的線段構成黃金比例。請注意所有四種彭羅斯鑲嵌片是如何嵌入這幅圖中的。風箏是ABCD，而飛鏢是AECB。圖中的兩個菱形是AECD和ABCF，盡管它們不符合恰當的相對大小關系，不過正如康韋喜歡說的那樣，這兩組鑲嵌片是基於同一種潛在的“黃金材料”。任何關於風箏和飛鏢的定理，都可以被轉化成一條關於彭羅斯菱形或者任何一對其他彭羅斯鑲嵌片的定理，反之亦然。康韋更喜歡研究飛鏢和風箏，不過其他數學家們卻更喜歡研究比較簡單的菱形。安曼( Robert Ammann)發現了令人眼花繚亂的各種其他非周期性鋪陳集合。有一組集合由兩個凸五邊形和一個凸六邊形構成，它在不需要任何邊緣標記的情況下強製產生非周期性。他發現了好幾對這樣的組合，每一對都有一個五隻內角為90度、一隻內角為270度的六邊形。

　　是否存在某些與黃金比例無關的、強製實現非周期性的成對鑲嵌片?是否存在一對相似的鑲嵌片強製實現非周期性?是否存在不需要邊緣標記而將強製實現非周期性的一對凸鑲嵌片?

　　當然，主要的未解問題是，是否存在一種只能非周期性鋪陳平面的單一形狀?大多數專家都認為不存在，不過大家都遠不能給出證明。我們甚至還沒能證明，如果有這樣一種鑲嵌片存在的話，那麽它必定是非凸的。